Курт Фридрих Гедел (; April 28, 1906 – January 14, 1978), еден од најголемите математички умови во историјата, е роден на година во Брно, денешна Чешка. Најпознат е по неговите теореми за непотполност, со кои докажува дека во секој формален аксиоматски систем постојат искази кои не можат да се докажат само во рамките на тој систем, што практично значи дека секој формален систем е некомплетен. Со тој доказ ги окончува долгогдишните напори за формализација на математиката, посебно од страна на Хилберт. Едно од неговите најпознати дела „Доследноста на аксиомата за избор и генерализираната хипотеза на континуум, со аксиоматската теорија на множества„ е објавена 1940 во САД, каде што работи на универзитетот во Принстон сè до неговата смрт во 1978 година.
Рани години Детство Гедел е роден на 28 април 1906, во Брун,Австроунгарија (сега Брно, Чешка) во етнички германско семејство на Рудолф Гедел, менаџер на текстилна фабрика, и Мариан Гедел.Dawson 1997, pp. 3–4 За време на неговиот живот, Гедел останал близок со неговата мајка - нивната комуникација била честа и опсежна. Во периодот кога се родил, мнозинството од граѓаните во градот зборувале германски јазик вклучувајќи ги и неговите родители.Dawson 1997, p. 12 Неговиот татко бил католик, неговата мајка протестантка, а децата биле израснати како протестанти. Предците на Курт Гедел биле често активни во културниот живот на Брно. На пример, неговиот дедо Жозеф Гедел бил познат пејач на тоа време и член на „Асоцијација на пејачи на Брно“(герм. „Brünner Männergesangverein“).Procházka 2008, pp. 30–34.
Гедел автоматски станал државјанин на Чехословачка на возраст од 12 години кога Австроунгарското Царство се распаднало на крајот на Втората светска војна. Според неговиот соученик Клепетар, како и многуте државјани со потекло како неговото, „Гедел секогаш се сметал себеси за Австриец и бегалец во Чехословачка“.Dawson 1997, p. 15. Тој одлучил да стане австриски граѓанин на 23 годишна возраст . Кога Нацистичка Германија ја анексирала Австрија во 1938, Гедел автоматски станал германски граѓанин на возраст од 32 години. По Втората светска војна, на возраст од 42 години, станал американски граѓанин.
Во неговото семејство, младиот Курт бил познат како Herr Warum („господин зошто“) бидејќи имал многу голема љубопитност. Според неговиот брат Рудолф, на шестгодишна или седумгодишна возраст Курт боледувал од ревматска треска, целосно оздравел, но во текот на остатокот од неговиот живот бил убеден дека неговото срце било трајно оштетено. Почнувајќи од четири години, Гедел имал чести периоди на боледување, кои продолжиле за време на целиот негов живот.
Гедел учел во Evangelische Volksschule, лутеранско училиште во тогашен Брун од 1912 до 1916, после што бил запишан во Deutsches Staats-Realgymnasium од 1916 до 1924, завршувајќи со одличен успех по сите предмети, особено математика, јазици и религија. Иако Курт прво ги усовршил јазиците, подоцна станал позаинтересиран за историја и математика. Неговиот интерес за математиката се зголемил во 1920 годиниа кога неговиот постар брат Рудолф (роден 1902 година) заминал за Виена за да студира на медицинскиот факултет на Универзитетот во Виена. Како тинејџер, Курт учел за Габелсберговиот стил на пишување, Теоријата на боите на Гете, критики на Исак Њутн и делата на Имануел Кант.
Студирање во Виена На 18-годишна возраст Гедел му се придружил на својот брат во Виена и почнал да студира на Универзитетот во Виена. Дотогаш, тој веќе ја совладал математиката на универзитетско ниво. Иако во почетокот имал намера да студира теоретска физика, тој исто така посетувал курсеви по математика и филозофија. Во тоа време, тој ги прифатил идеите за математички реализам. Тој го прочитал делото на Кант "Метафизичките основи на природната наука " и учествувал во Виенскиот Круг со Мориц Шлик, Ханс Хан и Рудолф Карнап. Гедел потоа студирал теорија на броеви, но кога учествувал на семинарот одржан од Мориц Шлик, кој ја проучувал книгата "Вовед во математичката филозофија" Бертран Расел, тој се заинтересирал за математичка логика. Според Гедел, математичката логика била "наука пред сите други, која ги содржи идеите и принципите кои ги содржат сите науки".Gleick, J. (2011) The Information: A History, a Theory, a Flood, London, Fourth Estate, p181.
Присуството на предавањето на Давид Хилберт во Болоња за комплетноста и доследноста на математичките системи е можеби тоа што го сменило текот на животот на Гедел. Во 1928 година, Хилберт и Вилхелм Акерман го објавиле делото Grundzüge der theoretischen Logik ("Принципи на математичката логика"), кое претставува вовед во логиката од прв ред во која бил поставен проблемот на комплетност: "Дали аксиомите на формалниот систем се доволни за да се изведе секоја изјава која е точна во сите модели на системот?"
Ова била темата која Гедел ја избрал за својата докторска работа. Во 1929 година, на 23-годишна возраст, ја завршил докторската дисертација под надзор на Ханс Хан. Во него, тој ја утврдил комплетноста на предикатното сметање на калкулус од прв ред (Геделова теорема на комплетност). Добитник е на докторат во 1930 година. Неговата теза, заедно со дополнителни истражувања, била објавена од Виенската академија на науките.
Кариера
Теорема на нецелосност "Достигнувањето на Курт Гедел во современата логика е единствено и монументално - навистина, тоа е повеќе од споменик, тоа е обележје кое ќе остане видливо далеку во просторот и времето ... Предметот на логиката секако сосема ја промени својата природа и можности со достигнувањето на Гедел ". - John von Neumann Halmos, P.R. The Legend of von Neumann, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, бр. 4. (април 1973), стр. 382-394
Во 1931 година и додека сè уште е во Виена, Гедел ги објавил неговите теореми на нецелосност во Über formal unentscheidbare Sätze der "Principia Mathematica" und verwandter Systeme(мк. Формално непристапните предлози на „Principia Matematica“ и сродни системи). Во таа статија тој за секој аксиоматски систем докажал дека: Ако системот (логички или аксиоматски официјален) е доследен, не може да биде целосен. Доследноста на аксиомите не може да се докаже во рамките на Аксиоматски систем.
Овие теореми ставиле крај на обидите кои траеле половина век, почнувајќи од работата на Фреге и кулминирајќи во "Principia Mathematica" и формализмот, за да се најдат аксиоми доволни за целата математика.
Во ретроспектива, основната идеја на теоремата за некомплетност е прилично едноставна. Гедел во суштина изградил формула која тврди дека е непроверлива во даден формален систем. Ако е возможно да биде докажана, таа би била неточна.
Така секогаш ќе има барем една вистинска, но непроверлива изјава. Тоа е, за секој пресметливо преброива група на аксиоми за аритметика (т.е. група што во принцип може да се отпечати од идеализиран компјутер со неограничени ресурси), постои формула што важи за аритметиката, но која не може да се докаже во рамките на тој систем. Меѓутоа, за да се направи ова прецизно, на Гедел му било потребно да создаде метод за кодирање искази (како на пример, природните броеви), докази и концепт на докажување. Тоа го извел со создавање на систем како познат како Геделова метрика.
Во својата двострана книга "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül" (1932), Годел го отфрлил начинот на вреднување на интуициската логика. Во доказот, тој имплицитно го користел она што подоцна станало познато како Гедел-Думетова интермедијарна логика (или Геделова неопределена логика).
Средина на 1930-ти: понатамошна работа и посети во САД
Гедел ја заработил својата хабилитација во Виена во 1932 година, а во 1933 година станал "Privatdozent" (неплатен предавач). Во 1933 година Адолф Хитлер дошол на власт во Германија, а во наредните години се зголемило влијанието на нацистите во Австрија и меѓу математичарите во Виена.
Во јуни 1936 година, Мориц Шлик, чиј семинар го поттикнал интересот на Гедел за логика, бил убиен од еден од неговите поранешни студенти Јохан Нелбок. Ова предизвикало "тешка психичка криза" кај Гедел.. Од стр. 80, во која се цитира Рудолф Гедел, братот на Курт и лекар. Зборовите "тешка психичка криза", и пресудата дека атентаторот на Шлик бил причината за истата, се од цитатот на Рудолф Гедел. Рудолф го знаел Курт во тие години.
Тој развил параноидни симптоми, вклучително и страв дека ќе биде отруен, и поминал неколку месеци во санаториум.Досон 1997, стр. 110-112
Во 1933 година, Гедел првпат патувал во САД, каде што се запознал со Алберт Ајнштајн, кој му станал добар пријател.Hutchinson Encyclopedia (1988), стр. 518 Тој му дал адреса на годишниот состанок на Американското математичко друштво. Во текот на таа година, Гедел ги развивал идеите за пресметковност и рекурзивни функции до тој степен каде што можел да предава за општите рекурзивни функции и концептот на вистината. Сето ова било развиено во теоријата на броеви, со користење на Геделова метрика.
Во 1934 година, Гедел одржал серија предавања во Институт за напредни студии (анг. IAS) во Принстон, Њу Џерси, насловен како "За недвосмислените искази на формалните математички системи". Стивен Клејн, кој штотуку го завршил својот докторат во Принстон, пишувал белешки од овие предавања кои подоцна биле објавени. Гедел го посетил институтот повторно во есента 1935 година. Патувањето и напорната работа го исцрпиле, па затоа следната година земал одмор за да се опорави од депресивната епизода. Тој ѝ се вратил на наставата во 1937 година. Во тоа време работел на доказот за доследност на аксиомата на избор и на континуумската хипотеза. Тој покажал дека овие хипотези не можат да се побијат од заедничкиот систем на аксиоми на теоријата на множествата. Тој се оженил со Адел Нимбурски (1899-1981), koja ja познавал повеќе од 10 години, на 20 септември 1938 година. На нивната врска се спротивставувале неговите родители поради тоа што таа била разведена танчерка, шест години постара од него. Потоа, тој заминал на уште една посета на САД, поминувајќи ја есента 1938 година во Институтот за напредни студии и пролетта 1939 година на Универзитетот Нотр Дам.
Принстон, Ајнштајн, државјанство на САД
По анектирањето на 12 март 1938, Австрија станала дел од Нацистичка Германија. Германија ја укина титулата "Privatdozent", така што Гедел морал да аплицира за друга позиција според новиот поредок. Неговата поранешна асоцијација со еврејските членови на Виенскиот круг, особено со Хан, била користена против него. Универзитетот во Виена ја одбил апликацијата.
Неговата загриженост се интензивирала кога германската војска го категоризирала како погоден за регрутација. Втората светска војна започнала во септември 1939 година.
Пред почетокот на годината, Гедел и неговата сопруга ја напуштиле Виена и отишле во Принстон. За да го избегне атлантскиот премин, Геделсови ја избрале Транс-сибирската железничка линија во Тихиот Океан, отпловиле од Јапонија до Сан Франциско (стигнале на 4 март 1940 година), потоа со воз стигнале до Принстон. Таму Гедел ја прифатил позицијата во Институтот за напредни студии, кој претходно го посетил во текот на 1933-34.