Лапласова равенка — елиптична делумна диференцијална равенка од втор ред која го добила името по Пјер-Симон Лаплас, кој прв ги проучувал нејзините својства. Нејзиниот облик е:
Решенијата на Лапласовата равенка се хармониски функции. Лапласовата равенка е значајна во математиката, електромагнетизмот, астрономијата и динамиката на флуиди.
Дефиниција Во три димензии Лапласовата равенка може да се прикаже во различни координатни системи. Во Декартовиот координатен систем го има обликот:
Во цилиндричниот координатен систем е:
Во сферниот координатен систем е:
Во закривениот координатен систем е:
или
Дводимензионален систем Во поларниот дводимензионален координатен систем го има обликот:
Во дводимензионалниот Декартов систем е:
Гринова функција Лапласовата равенка често се решава со помош на Гриновата функција и Гриновата теорема:
Дефиницијата на Гриновата функција е:
Ако во Гриновата теорема се стави се добива:
Сега може да се реши Лапласовата равенка во случај на Нојманови и Дирихлеови рабни услови. Земајќи во обѕир:
равенката се сведува на:
Кога нема рабни услови Гриновата функција е:
Литература Sommerfeld A, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949) Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill. Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X Лапласова равенка
Надворешни врски
Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems) at EqWorld: The World of Mathematical Equations. Example initial-boundary value problems using Laplace's equation from exampleproblems.com.
Find out how boundary value problems governed by Laplace's equation may be solved numerically by boundary element method
Категорија:Равенки Категорија:Диференцијални равенки Категорија:Хармониски функции Категорија:Фурјеова анализа