No campo matemática da teoria dos nós, a tricolorabilidade de um nó é a capacidade de um nó ser colorido com três cores, sujeito a certas regras. A tricolorabilidade é uma invariante de isotopia e, portanto, pode ser usada para distinguir entre dois nós diferentes (não isotópico). Em particular, como o nó desfeito não é tricolorível, qualquer nó tricolorível é necessariamente não trivial.

Regras da tricolorabilidade Nestas regras, um fio em um diagrama de nós será um pedaço da corda que vai de um cruzamento inferior ao próximo.Xaoyu Qiao, E. L., Knot Theory Week 2: Tricolorability (20 de janeiro de 2015), Seção 3. Um nó é tricolorível se cada fio do diagrama de nós puder ser colorido com uma de três cores, sujeito às seguintes regras:Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Segunda Edição, p.3045. . citado em . Acessado em: 5 de maio de 2013. 1. Pelo menos duas cores devem ser usadas, e 2. Em cada cruzamento, os três fios incidentes são todos da mesma cor ou de cores diferentes.

Algumas referências afirmam, em vez disso, que todas as três cores devem ser usadas.Gilbert, N.D. e Porter, T. (1994) Knots and Surfaces, p. 8 Para um nó, isso é equivalente à definição acima; no entanto, para um elo, não é.

O nó trevo e o nó 2-trivial são tricolorível, mas o nó desfeito, o nó Whitehead e o nó oito não são. Se a projeção de um nó for tricolorível, então os movimentos de Reidemeister no nó preservam a tricolorabilidade, ou seja, ou todas as projeções de um nó são tricoloráveis ou nenhuma o é.

Exemplos Aqui está um exemplo de como colorir um nó de acordo com as regras da tricolorabilidade. Por convenção, os teóricos dos nós usam as cores vermelho, verde e azul.

Exemplo de um nó tricolorível

O nó da avó é tricolorível. Nessa coloração, os três fios em cada cruzamento têm três cores diferentes. Colorir um, mas não ambos, dos nós trevo de vermelho também resultaria em uma coloração admissível. O nó do verdadeiro amante também é tricolorível.Bestvina, Mladen (fevereiro de 2003). "Knots: a handout for mathcircles", Math.Utah.edu.

Nós tricoloráveis com menos de nove cruzamentos incluem 61, 74, 77, 85, 810, 811, 815, 818, 819, 820 e 821.

Exemplo de um nó não tricolorível

O nó em forma de oito não é tricolorível. No diagrama mostrado, ele possui quatro fios, com cada par de fios se encontrando em algum cruzamento. Se três dos fios tivessem a mesma cor, todos os fios seriam forçados a ter a mesma cor. Caso contrário, cada um desses quatro fios deve ter uma cor distinta. Como a tricolorabilidade é um nó invariante, nenhum de seus outros diagramas pode ser tricolorível.

Invariante de isotopia A tricolorabilidade é uma invariante de isotopia, que é uma propriedade de um nó ou link que permanece constante independentemente de qualquer isotopia ambiente. Isso pode ser comprovado para nós domesticados examinando movimentos de Reidemeister. Como cada movimento de Reidemeister pode ser feito sem afetar a tricolorabilidade, a tricolorabilidade é uma invariante isotópica de nós domesticados.

O Movimento Reidemeister I é tricolorível.O Movimento Reidemeister II é tricolorível.O Movimento Reidemeister III é tricolorível.

Propriedades

Como a tricolorabilidade é uma classificação binária (um elo é tricolorível ou não*), ela é uma invariante relativamente fraca. A composição de um nó tricolorível com outro nó é sempre tricolor. Uma maneira de fortalecer a invariante é contar o número de possíveis colorações tricoloráveis. Nesse caso, a regra de que pelo menos duas cores são usadas é flexibilizada e agora cada elo tem pelo menos três colorações tricolores (basta colorir cada arco da mesma cor). Nesse caso, um elo é tricolorível se tiver mais de três colorações tricolores.

Qualquer elo separável com um componente separável tricolorível também é tricolorível.

Em nós de toro

Se o nó de toro/elo denotado por (m,n) é tricolorível, então (j*m,i*n) e (i*n,j*m) também o são para quaisquer números naturais i e j.

Referências

Leitura adicional Acessado em: 5 de maio de 2013.

Categoria:Matemática Categoria:Teoria dos nós Categoria:Topologia (matemática)