miniaturadaimagem|Pierre de Fermat Na teoria aditiva dos números, o teorema de Fermat sobre a soma de dois quadrados afirma que um número primo ímpar p pode ser expresso como:

com x e y inteiros, se e somente se

Os números primos para os quais isso é verdadeiro são chamados de primos pitagóricos. Por exemplo, os primos 5, 13, 17, 29, 37 e 41 são todos congruentes a 1 módulo 4, e podem ser expressos como somas de dois quadrados das seguintes maneiras:

Por outro lado, os primos 3, 7, 11, 19, 23 e 31 são todos congruentes a 3 módulo 4, e nenhum deles pode ser expresso como a soma de dois quadrados. Esta é a parte mais fácil do teorema e decorre imediatamente da observação de que todos os quadrados são congruentes a 0 (se o número ao quadrado for par) ou a 1 (se o número ao quadrado for ímpar) módulo 4.

Uma vez que a identidade de Brahmagupta-Fibonacci (identidade de Diofanto) implica que o produto de dois inteiros, cada um dos quais pode ser escrito como a soma de dois quadrados, é ele próprio expressável como a soma de dois quadrados, ao aplicar o teorema de Fermat à fatoração em primos de qualquer número inteiro positivo n, vemos que se todos os fatores primos de n congruentes a 3 módulo 4 ocorrerem com um expoente par, então n é expressável como a soma de dois quadrados. A recíproca também é verdadeira.Para uma prova da recíproca, veja, por exemplo, 20.1, Teoremas 367 e 368, em: G.H. Hardy e E.M. Wright. An introduction to the theory of numbers, Oxford 1938. Esta generalização do teorema de Fermat é conhecida como o teorema da soma de dois quadrados.

História Albert Girard foi o primeiro a fazer a observação, caracterizando os inteiros positivos (não necessariamente primos) que são expressáveis como a soma de dois quadrados de inteiros positivos; isso foi publicado em 1625.Simon Stevin. l'Arithmétique de Simon Stevin de Bruges, anotado por Albert Girard, Leyde 1625, p. 622.L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. II, Ch. VI, p. 227. "A. Girard ... já havia feito uma determinação dos números que podem ser expressos como a soma de dois quadrados inteiros: todo quadrado, todo primo 4n+1, um produto formado por tais números e o dobro do precedente" A afirmação de que todo primo p da forma é a soma de dois quadrados é, por vezes, chamada de teorema de Girard.L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. II, Ch. VI, p. 228. Por sua parte, Fermat escreveu uma versão elaborada da declaração (na qual também indicou o número de possíveis expressões das potências de p como a soma de dois quadrados) em uma carta a Marin Mersenne datada de 25 de dezembro de 1640: por esta razão, esta versão do teorema é às vezes chamada de teorema de Natal de Fermat.

Primos gaussianos O teorema de Fermat sobre a soma de dois quadrados está fortemente relacionado com a teoria dos primos gaussianos.

Um inteiro gaussiano é um número complexo tal que e são inteiros. A norma de um inteiro gaussiano é um número inteiro igual ao quadrado do valor absoluto do inteiro gaussiano. A norma de um produto de inteiros gaussianos é o produto das suas normas. Esta é a identidade de Diofanto, que resulta imediatamente da propriedade semelhante do valor absoluto.

Os inteiros gaussianos formam um domínio de ideais principais. Isso implica que os primos gaussianos podem ser definidos de forma semelhante aos números primos, ou seja, como aqueles inteiros gaussianos que não são o produto de duas não unidades (aqui as unidades são e ).

A propriedade multiplicativa da norma implica que um número primo é ou um primo gaussiano ou a norma de um primo gaussiano. O teorema de Fermat assevera que o primeiro caso ocorre quando e que o segundo caso ocorre quando e O último caso não é considerado na declaração de Fermat, mas é trivial, já que

Resultados relacionados O ponto de vista acima sobre o teorema de Fermat é um caso especial da teoria da fatoração de ideais em anéis de inteiros quadráticos. Em resumo, se é o anel de inteiros algébricos no corpo quadrático, então um número primo ímpar , que não divide , é ou um elemento primo em ou a norma ideal de um ideal de que é necessariamente primo. Além disso, a lei da reciprocidade quadrática permite distinguir os dois casos em termos de congruências. Se é um domínio de ideais principais, então é uma norma ideal se e somente se

com e sendo ambos inteiros.

Em uma carta a Blaise Pascal datada de 25 de setembro de 1654, Fermat anunciou os dois resultados seguintes, que são essencialmente os casos especiais e Se é um primo ímpar, então

Fermat escreveu também: Se dois primos que terminam em 3 ou 7 e ultrapassam por 3 um múltiplo de 4 forem multiplicados, então seu produto será composto por um quadrado e o quíntuplo de outro quadrado. Em outras palavras, se são da forma ou , então . Euler mais tarde estendeu isto para a conjectura de que

Tanto a afirmação de Fermat quanto a conjectura de Euler foram demonstradas por Joseph-Louis Lagrange. Esta formulação mais complicada baseia-se no fato de que não é um domínio de ideais principais, ao contrário de e

Algoritmo Em 1990, Stan Wagon descreveu um algoritmo de Las Vegas com uma complexidade polinomial probabilística baseada no trabalho de Serret e Hermite (1848), e Cornacchia (1908).. A parte probabilística consiste em encontrar um não-resíduo quadrático, o que pode ser feito com uma probabilidade de sucesso de e, em seguida, iterado se não for bem-sucedido. Condicionalmente, isso também pode ser feito em tempo polinomial determinístico se a hipótese generalizada de Riemann for verdadeira, como explicado no algoritmo de Tonelli-Shanks.

Descrição Dado um primo ímpar da forma , primeiro encontre tal que . Isto pode ser feito encontrando um não-resíduo quadrático módulo , digamos , e definindo .

Tal satisfará a condição, pois os não-resíduos quadráticos satisfazem .

Assim que é determinado, pode-se aplicar o algoritmo de Euclides com e . Denote os dois primeiros restos que são menores que a raiz quadrada de como e . Então, teremos o caso em que .

No algoritmo de Euclides, temos uma sequência de restos que termina com o máximo divisor comum .

Calculamos estes valores de forma recursiva com os valores iniciais :</p>

Podemos definir outra sequência pela mesma recorrência, mas com valores iniciais , :</p>

Acontece que a sequência é exatamente o reverso da sequência , a menos dos sinais.</p>

Além disso, pode-se ver usando a recorrência que para todo . Eleve esta equação ao quadrado e use para obter . A partir daí, só precisamos encontrar o e o que possuam o tamanho certo para que .

Exemplo Tome . Um possível não-resíduo quadrático para 97 é 13, já que . Então definimos . O algoritmo de Euclides aplicado a 97 e 22 produz:

Os dois primeiros restos menores que a raiz quadrada de 97 são 9 e 4; e de fato temos , conforme esperado.

Provas Fermat geralmente não escrevia as provas das suas afirmações e não forneceu uma prova desta declaração. A primeira prova foi encontrada por Euler após muito esforço e baseia-se no método de descida infinita. Ele anunciou a prova em duas cartas a Goldbach, em 6 de maio de 1747 e em 12 de abril de 1749; ele publicou a prova detalhada em dois artigos (entre 1752 e 1755).De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40)Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13) Lagrange deu uma prova em 1775 que se baseava no seu estudo das formas quadráticas. Esta prova foi simplificada por Gauss no seu Disquisitiones Arithmeticae (art. 182). Dedekind deu pelo menos duas provas baseadas na aritmética dos inteiros gaussianos. Existe uma prova elegante usando o teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos. Simplificando uma prova curta anterior feita por Heath-Brown (que se inspirou na ideia de Liouville), Zagier apresentou uma prova não construtiva de uma única frase em 1990.. E mais recentemente Christopher apresentou uma prova baseada na teoria das partições.A. David Christopher. "A partition-theoretic proof of Fermat's Two Squares Theorem", Discrete Mathematics 339:4:1410–1411 (6 April 2016)

A prova de Euler por descida infinita Euler conseguiu provar o teorema de Fermat sobre a soma de dois quadrados em 1749, quando tinha quarenta e dois anos. Ele comunicou isso em uma carta a Goldbach datada de 12 de abril de 1749.Euler à Goldbach, lettre CXXV A prova baseia-se na descida infinita, e é apenas brevemente esboçada na carta. A prova completa consiste em cinco passos e foi publicada em dois artigos. Os primeiros quatro passos são as Proposições 1 a 4 do primeiro artigoDe numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40) e não correspondem exatamente aos quatro passos abaixo. O quinto passo abaixo é proveniente do segundo artigo.Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13) O resumo baseia-se no livro de Edwards, páginas 45-48.

Para evitar ambiguidades, o zero será sempre um constituinte possível válido de "somas de dois quadrados", pelo que, por exemplo, todo quadrado de um inteiro é trivialmente expressável como a soma de dois quadrados ao definir um deles como zero.

1. O produto de dois números, cada um dos quais é a soma de dois quadrados, é em si mesmo uma soma de dois quadrados. Esta é uma propriedade bem conhecida, baseada na identidade

devida a Brahmagupta e Diofanto.

2. Se um número que é a soma de dois quadrados for divisível por um número primo que é a soma de dois quadrados, então o quociente é uma soma de dois quadrados. (Esta é a primeira Proposição de Euler).

De fato, suponha, por exemplo, que é divisível por e que este último seja um primo. Então divide

Uma vez que é um número primo, ele divide um dos dois fatores. Suponha que ele divide . Uma vez que

(a identidade de Diofanto) conclui-se que deve dividir . Assim, a equação pode ser dividida pelo quadrado de . Dividir a expressão por resulta em:

e expressa assim o quociente como uma soma de dois quadrados, conforme afirmado.

Por outro lado, se divide , um argumento semelhante é válido usando a seguinte variante da identidade de Diofanto:

3. Se um número que pode ser escrito como a soma de dois quadrados for divisível por um número que não é uma soma de dois quadrados, então o quociente tem um fator que não é uma soma de dois quadrados. (Esta é a segunda Proposição de Euler). Suponha que seja um número não expressável como uma soma de dois quadrados, o qual divide . Escreva o quociente, fatorado nos seus fatores primos (possivelmente repetidos), como de modo que . Se todos os fatores puderem ser escritos como somas de dois quadrados, então podemos dividir sucessivamente por , , etc., e aplicando o passo (2.) acima deduzimos que cada quociente sucessivo e menor é uma soma de dois quadrados. Se chegarmos até , então o próprio teria que ser igual à soma de dois quadrados, o que é uma contradição. Logo, pelo menos um dos primos não é a soma de dois quadrados.

4. Se e são inteiros positivos primos entre si (coprimos), então todo fator de é uma soma de dois quadrados. (Este é o passo que utiliza o passo (3.) para produzir uma 'descida infinita' e foi a Proposição 4 de Euler. A prova esboçada abaixo inclui também a prova da sua Proposição 3).

Sejam inteiros positivos coprimos: sem perda de generalidade não é ele próprio primo, caso contrário não há nada para provar. Seja , portanto, um fator próprio de , não necessariamente primo: queremos mostrar que é uma soma de dois quadrados. Mais uma vez, não perdemos nada ao assumir visto que o caso é óbvio.