Em matemática, especificamente na teoria da homotopia e na (superior) teoria das categorias, coerência é o padrão que igualdades ou diagramas devem satisfazer quando eles são válidos "a menos de homotopia" ou "a menos de isomorfismo".
Frequentemente, mais de uma maneira de definir um mapeamento entre objetos matemáticos pode ser considerada "natural". Surge então a questão: qual caminho escolher? A coerência implica que não importa qual caminho seja escolhido, pois todas as definições alternativas são equivalentes. Essa equivalência é frequentemente manifestada em um diagrama comutativo.
Os adjetivos como "pseudo-" e "lax-" são usados para se referir ao fato de que as igualdades são enfraquecidas de formas coerentes; por exemplo, pseudofuntor, pseudoálgebra.
Isomorfismo coerente Em algumas situações, isomorfismos precisam ser escolhidos de forma coerente. Frequentemente, isso pode ser alcançado escolhendo isomorfismos canônicos. Mas em alguns casos, como em pré-pilhas (prestacks), pode haver vários isomorfismos canônicos e pode não haver uma escolha óbvia entre eles.
Na prática, isomorfismos coerentes surgem ao enfraquecer igualdades; por exemplo, a associatividade estrita pode ser substituída pela associatividade via isomorfismos coerentes. Por exemplo, através deste processo, obtém-se a noção de uma 2-categoria fraca a partir da de uma 2-categoria estrita.
A substituição de isomorfismos coerentes por igualdades é geralmente chamada de estritificação ou retificação.
2-categoria fraca Em uma 2-categoria fraca, a composição de 1-morfismos não satisfaz a associatividade como uma equação; no entanto, para cada tripla , existem 2-morfismos
center
em ; estes são chamados de isomorfismos de coerência de associatividade.
Para cada 1-célula , o isomorfismo
center
em é chamado de isomorfismos de coerência de unidade.
Condição de coerência Uma condição de coerência é uma coleção de condições que exigem que várias composições de morfismos elementares sejam iguais. Tipicamente, os morfismos elementares fazem parte dos dados da categoria. Um teorema de coerência afirma que, para ter certeza de que todas essas igualdades se mantêm, basta verificar um pequeno número de identidades.
Parte dos dados de uma categoria monoidal é um morfismo escolhido , chamado de associador:
para cada tripla de objetos na categoria. Usando composições destes , pode-se construir um morfismo:
Na verdade, existem muitas maneiras de construir tal morfismo como uma composição de vários . Uma condição de coerência que é tipicamente imposta é que essas composições sejam todas iguais.
Tipicamente, prova-se uma condição de coerência usando um teorema de coerência, que afirma que basta verificar apenas algumas igualdades de composições para mostrar que as demais também são válidas. No exemplo acima, basta verificar que, para todas as quádruplas de objetos , o seguinte diagrama comuta:
640px|center
Qualquer par de morfismos de para construídos como composições de vários são iguais.
Outros exemplos
Dois exemplos simples que ilustram a definição são os seguintes. Ambos derivam diretamente da definição de um morfismo em uma categoria comum.
Identidade Seja um morfismo de uma categoria contendo dois objetos A e B. Associados a esses objetos estão os morfismos identidade e . Ao compor estes com f, construímos dois morfismos: , e . Ambos são morfismos entre os mesmos objetos que f. Temos, consequentemente, a seguinte afirmação de coerência: .
Associatividade da composição Sejam , e morfismos de uma categoria contendo objetos A, B, C e D. Por composição repetida, podemos construir um morfismo de A para D de duas maneiras: , e . Temos agora a seguinte afirmação de coerência: .
Nesses dois exemplos particulares, as afirmações de coerência são teoremas para o caso de uma categoria abstrata, pois seguem diretamente dos axiomas; de fato, elas são axiomas. Para o caso de uma estrutura matemática concreta, elas podem ser vistas como condições, nomeadamente como requisitos para que a estrutura matemática em consideração seja uma categoria concreta.
Teorema de coerência O teorema de coerência de Mac Lane afirma, grosso modo, que se diagramas de certos tipos comutam, então diagramas de todos os tipos comutam. Uma prova simples desse teorema pode ser obtida usando o permutoassociaedro, um polítopo cuja estrutura combinatória aparece implicitamente na prova de Mac Lane.Veja e
Existem várias generalizações do teorema de coerência de Mac Lane. Cada uma delas possui a forma geral de que "toda estrutura fraca de algum tipo é equivalente a uma mais estrita". Um teorema de coerência para 4-categorias fracas ainda não existe.
Coerência homotópica
Exemplo As quasicategorias fornecem um modelo para ∞-categorias onde os diagramas são automaticamente homotopiacamente coerentes.
Teorema de Vogt Seja A uma categoria pequena e uma S-categoria completa (ou cocompleta) e localmente Kan.
O teorema de Vogt sobre diagramas coerentes estabelece uma equivalência de categorias:
Ver também Condição de coerência Isomorfismo canônico 2-categoria Pseudoálgebra Tricategoria Isomorfismo de associatividade
Notas
Bibliografia
§ 5. de
Ch. 5 de
Leitura adicional
Ligações externas
Categoria:Teoria das categorias Categoria:Teoria da homotopia