direita|miniaturadaimagem| Em matemática, o espaço projetivo complexo é o espaço projetivo com respeito ao corpo dos números complexos. Por analogia, enquanto os pontos de um espaço projetivo real rotulam as retas que passam pela origem de um espaço euclidiano real, os pontos de um espaço projetivo complexo rotulam as retas complexas que passam pela origem de um espaço euclidiano complexo (veja abaixo para uma explicação intuitiva). Formalmente, um espaço projetivo complexo é o espaço de retas complexas que passam pela origem de um espaço vetorial complexo de dimensão (n+1). O espaço é denotado de várias formas como P(Cn+1), Pn(C) ou CPn. Quando , o espaço projetivo complexo CP1 é a esfera de Riemann, e quando , CP2 é o plano projetivo complexo (veja lá para uma discussão mais elementar).
O espaço projetivo complexo foi introduzido pela primeira vez por como um exemplo do que era então conhecido como "geometria de posição", uma noção originalmente devida a Lazare Carnot, um tipo de geometria sintética que incluía também outras geometrias projetivas. Posteriormente, na virada do século XX, tornou-se claro para a escola italiana de geometria algébrica que os espaços projetivos complexos eram os domínios mais naturais nos quais considerar as soluções de equações polinomiais – variedades algébricas . Nos tempos modernos, tanto a topologia quanto a geometria do espaço projetivo complexo são bem compreendidas e intimamente relacionadas com as da esfera. De fato, em certo sentido, a esfera (2n+1)-dimensional pode ser considerada como uma família de círculos parametrizada por CPn: esta é a fibração de Hopf. O espaço projetivo complexo possui uma métrica (Kähler), chamada de métrica de Fubini–Study, em termos da qual é um espaço simétrico Hermitiano de posto 1.
O espaço projetivo complexo tem muitas aplicações tanto na matemática quanto na física quântica. Na geometria algébrica, o espaço projetivo complexo é o lar das variedades projetivas, uma classe bem-comportada de variedades algébricas. Em topologia, o espaço projetivo complexo desempenha um papel importante como um espaço classificante para fibrados de linha complexos: famílias de retas complexas parametrizadas por outro espaço. Neste contexto, a união infinita de espaços projetivos (limite direto), denotada CP∞, é o espaço classificante K(Z,2). Na física quântica, a função de onda associada a um estado puro de um sistema mecânico quântico é uma amplitude de probabilidade, o que significa que tem norma unitária e tem uma fase global inessencial: ou seja, a função de onda de um estado puro é naturalmente um ponto no espaço de Hilbert projetivo do espaço de estados. A variedade projetiva complexa é um espaço de dimensão 2n ou é um espaço complexo de dimensão n.
Introdução direita|miniaturadaimagem|Retas paralelas no plano se intersectam no ponto de fuga na reta no infinito. A noção de plano projetivo surge da ideia de perspectiva na geometria e na arte: que às vezes é útil incluir no plano euclidiano uma linha "imaginária" adicional que representa o horizonte que um artista, pintando o plano, poderia ver. Seguindo cada direção a partir da origem, há um ponto diferente no horizonte, de modo que o horizonte pode ser pensado como o conjunto de todas as direções a partir da origem. O plano euclidiano, juntamente com seu horizonte, é chamado de plano projetivo real, e o horizonte é às vezes chamado de reta no infinito. Pela mesma construção, os espaços projetivos podem ser considerados em dimensões superiores. Por exemplo, o espaço projetivo real 3-dimensional é um espaço euclidiano juntamente com um plano no infinito que representa o horizonte que um artista (que, necessariamente, deve viver em quatro dimensões) veria.
Estes espaços projetivos reais podem ser construídos de uma forma ligeiramente mais rigorosa da seguinte forma. Aqui, seja Rn+1 o espaço coordenado real de n+1 dimensões, e considere a paisagem a ser pintada como um hiperplano neste espaço. Suponha que o olho do artista seja a origem em Rn+1. Então, ao longo de cada reta que passa por seu olho, há um ponto da paisagem ou um ponto em seu horizonte. Assim, o espaço projetivo real é o espaço de retas que passam pela origem em Rn+1. Sem referência a coordenadas, este é o espaço de retas que passam pela origem em um espaço vetorial real de dimensão (n+1).
Para descrever o espaço projetivo complexo de maneira análoga, é necessária uma generalização da ideia de vetor, reta e direção. Imagine que, em vez de estar em um espaço euclidiano real, o artista está em um espaço euclidiano complexo Cn+1 (que tem dimensão real 2n+2) e a paisagem é um hiperplano complexo (de dimensão real 2n). Ao contrário do caso do espaço euclidiano real, no caso complexo existem direções para as quais o artista pode olhar e não ver a paisagem (porque ela não tem dimensão suficientemente alta). No entanto, em um espaço complexo, há uma "fase" adicional associada às direções que passam por um ponto, e ajustando essa fase o artista pode garantir que normalmente veja a paisagem. O "horizonte" é então o espaço de direções, mas de modo que duas direções são consideradas "as mesmas" se diferirem apenas por uma fase. O espaço projetivo complexo é então a paisagem (Cn) com o horizonte anexado "no infinito". Assim como no caso real, o espaço projetivo complexo é o espaço de direções que passam pela origem de Cn+1, onde duas direções são consideradas as mesmas se diferirem por uma fase.
Construção O espaço projetivo complexo é uma variedade complexa que pode ser descrita por n + 1 coordenadas complexas como
onde as tuplas que diferem por um redimensionamento global são identificadas:
Ou seja, estas são coordenadas homogêneas no sentido tradicional da geometria projetiva. O conjunto de pontos CPn é coberto pelas cartas . Em Ui, pode-se definir um sistema de coordenadas por
As transições de coordenadas entre duas cartas diferentes Ui e Uj são funções holomorfas (na verdade, são transformações lineares fracionárias). Assim, CPn carrega a estrutura de uma variedade complexa de dimensão complexa n, e a fortiori a estrutura de uma variedade diferenciável real de dimensão real 2n.
Pode-se também considerar CPn como um quociente da esfera 2n + 1 unitária em Cn+1 sob a ação de U(1):
CPn = S2n+1/U(1).
Isso ocorre porque toda reta em Cn+1 intersecta a esfera unitária em um círculo. Projetando primeiro para a esfera unitária e depois identificando sob a ação natural de U(1), obtém-se CPn. Para n = 1, esta construção produz o fibrado de Hopf clássico . Desta perspectiva, a estrutura diferenciável em CPn é induzida pela de S2n+1, sendo o quociente desta última por um grupo compacto que atua propriamente.
Topologia A topologia de CPn é determinada indutivamente pela seguinte decomposição celular. Seja H um hiperplano fixo que passa pela origem em Cn+1. Sob o mapa de projeção , H é levado a um subespaço homeomorfo a CPn−1. O complemento da imagem de H em CPn é homeomorfo a Cn. Assim, CPn surge pela anexação de uma 2n-célula a CPn−1:
Alternativamente, se a 2n-célula for considerada como a bola unitária aberta em Cn, então o mapa de anexação é a fibração de Hopf da fronteira. Uma decomposição celular indutiva análoga é verdadeira para todos os espaços projetivos; veja .
Decomposição CW Uma maneira útil de construir os espaços projetivos complexos é através de uma construção recursiva usando CW-complexos. Lembre-se de que existe um homeomorfismo para a 2-esfera, dando o primeiro espaço. Podemos então induzir nas células para obter um mapa pushout onde é a 4-bola, e representa o gerador em (portanto, é homotopicamente equivalente ao mapa de Hopf). Podemos então construir indutivamente os espaços como diagramas pushout onde representa um elemento em O isomorfismo dos grupos de homotopia é descrito abaixo, e o isomorfismo dos grupos de homotopia é um cálculo padrão na teoria da homotopia estável (que pode ser feito com a sequência espectral de Serre, o teorema da suspensão de Freudenthal e a torre de Postnikov). O mapa vem do fibrado dando um mapa não contrátil, portanto representa o gerador em . Caso contrário, haveria uma equivalência de homotopia , mas então seria homotopicamente equivalente a , uma contradição que pode ser vista observando os grupos de homotopia do espaço.
Topologia conjuntista O espaço projetivo complexo é compacto e conexo, sendo um quociente de um espaço compacto e conexo.
Grupos de homotopia A partir do fibrado
ou mais sugestivamente
CPn é simplesmente conexo. Além disso, pela sequência exata longa de homotopia, o segundo grupo de homotopia é , e todos os grupos de homotopia superiores concordam com os de S2n+1: para todo k > 2.
Homologia Em geral, a topologia algébrica de CPn baseia-se no fato de os ranks dos grupos de homologia serem zero em dimensões ímpares; além disso, H2i(CPn, Z) é cíclico infinito para i = 0 a n. Portanto, os números de Betti são
1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...
Ou seja, 0 em dimensões ímpares, 1 em dimensões pares de 0 a 2n. A característica de Euler de CPn é, portanto, n + 1. Pela dualidade de Poincaré, o mesmo é verdadeiro para os ranks dos grupos de cohomologia. No caso da cohomologia, pode-se ir mais longe e identificar a estrutura de anel graduado, para o produto cup; o gerador de H2(CPn, Z) é a classe associada a um hiperplano, e este é um gerador do anel, de modo que o anel é isomorfo a
Z[T]/(Tn+1),
com T um gerador de grau dois. Isso implica também que o número de Hodge hi,i = 1, e todos os outros são zero. Veja .
K-teoria Segue-se por indução e pela periodicidade de Bott que
O fibrado tangente satisfaz
onde denota o fibrado de linha trivial, a partir da sequência de Euler. A partir disso, as classes de Chern e os números característicos podem ser calculados explicitamente.
Espaço classificante Existe um espaço que, em certo sentido, é o limite indutivo de quando . Ele é BU(1), o espaço classificante de U(1), o grupo circular, no sentido da teoria da homotopia, e portanto classifica fibrados de linha complexos. Equivalentemente, ele é responsável pela primeira classe de Chern. Isso pode ser visto heuristicamente observando os mapas do fibrado e . Isso fornece um fibrado (chamado de fibrado circular universal) construindo este espaço. Observe que, usando a longa sequência exata de grupos de homotopia, temos , portanto é um espaço de Eilenberg–MacLane, um . Por causa deste fato e do teorema da representabilidade de Brown, temos o seguinte isomorfismo para qualquer CW-complexo razoável . Além disso, pela teoria das classes de Chern, todo fibrado de linha complexo pode ser representado como um pullback do fibrado de linha universal em , o que significa que há um quadrado pullback onde é o fibrado vetorial associado ao principal -fibrado . Veja, por exemplo, e .
Geometria diferencial A métrica natural em CPn é a métrica de Fubini–Study, e seu grupo de isometrias holomorfas é o grupo projetivo unitário PU(n+1), onde o estabilizador de um ponto é
É um espaço simétrico Hermitiano , representado como um espaço quociente
A simetria geodésica em um ponto p é a transformação unitária que fixa p e é a identidade negativa no complemento ortogonal da reta representada por p.
Geodésicas Através de quaisquer dois pontos p, q no espaço projetivo complexo, passa uma única reta complexa (um CP1). Um círculo máximo desta reta complexa que contém p e q é uma geodésica para a métrica de Fubini–Study. Em particular, todas as geodésicas são fechadas (são círculos) e todas têm o mesmo comprimento. (Isso é sempre verdadeiro para espaços simétricos globais Riemannianos de posto 1.)
O lugar de corte de qualquer ponto p é igual a um hiperplano CPn−1. Este é também o conjunto de pontos fixos da simetria geodésica em p (menos o próprio p). Veja .
Pinçamento da curvatura seccional