Na topologia algébrica, os números de Betti são utilizados para distinguir espaços topológicos com base na conectividade de complexos simpliciais -dimensionais. Para a grande maioria dos espaços de dimensão finita bem-comportados (tais como variedades compactas, complexos simpliciais finitos ou complexos CW), a sequência de números de Betti é nula a partir de uma certa ordem (os números de Betti se anulam para dimensões estritamente maiores do que a dimensão do espaço) e todos os termos são finitos.

O -ésimo número de Betti representa o posto do -ésimo grupo de homologia, denotado por , o qual indica a quantidade máxima de cortes possíveis que podem ser feitos em uma superfície antes de dividi-la em duas partes disjuntas ou, equivalentemente, o número de 0-ciclos, 1-ciclos independentes, etc. Por exemplo, se , então ; se , então ; se , então ; se , então , e assim por diante. Nota-se que apenas os postos dos subgrupos livres infinitos são contabilizados; assim, por exemplo, se , onde é o grupo cíclico finito de ordem 2, então . Essas componentes finitas dos grupos de homologia constituem seus subgrupos de torção, sendo denominadas coeficientes de torção.

A expressão "número de Betti" foi cunhada por Henri Poincaré em homenagem a Enrico Betti. A formulação algébrica moderna é devida a Emmy Noether. Os números de Betti são aplicados contemporaneamente em áreas como homologia simplicial, ciência da computação e processamento digital de imagens.

Interpretação geométrica thumb|Para um toro, o primeiro número de Betti é , o qual pode ser visualizado intuitivamente como o número de "buracos" circulares independentes. Informalmente, o -ésimo número de Betti refere-se à quantidade de "buracos" -dimensionais existentes em uma superfície topológica. Um "buraco -dimensional" é um ciclo de dimensão que não é bordo de um objeto de dimensão .

Os primeiros números de Betti admitem as seguintes interpretações intuitivas para complexos simpliciais de dimensões 0, 1 e 2: é o número de componentes conexas; é o número de buracos unidimensionais ou "circulares"; é o número de "vazios" ou "cavidades" bidimensionais.

Dessa forma, por exemplo, um toro possui uma única componente conexa de superfície, logo ; dois buracos "circulares" independentes (um equatorial e um meridional), portanto ; e uma única cavidade oca tridimensional envolvida pela superfície, o que resulta em .

Outra interpretação para é a quantidade máxima de curvas fechadas de dimensão que podem ser removidas do objeto sem desconectá-lo. No caso do toro, ele permanece conexo após a remoção de duas curvas unidimensionais (uma equatorial e uma meridional), donde .

Os números de Betti de dimensão baixa são mais facilmente apreensíveis porque o espaço perceptível se restringe visualmente a 0, 1, 2 e 3 dimensões.

Definição formal Para um número inteiro não negativo , o -ésimo número de Betti do espaço é definido como o posto (quantidade de geradores linearmente independentes do subgrupo livre) do grupo abeliano , o -ésimo grupo de homologia de . O -ésimo grupo de homologia é dado por , onde os operadores são as aplicações de bordo do complexo simplicial, sendo o posto de o -ésimo número de Betti. Equivalentemente, pode-se defini-lo como a dimensão do espaço vetorial , visto que, com coeficientes sobre os racionais , o grupo de homologia torna-se um espaço vetorial sobre . O teorema dos coeficientes universais demonstra que, na ausência de torção, ambas as formulações produzem valores idênticos.

Mais geralmente, dado um corpo arbitrário , define-se , o -ésimo número de Betti com coeficientes em , como a dimensão do espaço vetorial .

Polinômio de Poincaré O polinômio de Poincaré de uma superfície ou espaço topológico é a função geradora de seus números de Betti. Por exemplo, os números de Betti do toro bidimensional são 1, 2 e 1; portanto, seu polinômio de Poincaré é . A mesma formulação aplica-se a qualquer espaço topológico que possua homologia finitamente gerada.

Para um espaço topológico cuja homologia seja finitamente gerada em cada grau, o polinômio de Poincaré é definido formalmente como o polinômio cujo coeficiente da potência é o número de Betti .

Exemplos

Números de Betti de um grafo Considere um grafo topológico cujo conjunto de vértices é , o conjunto de arestas é e o número de componentes conexas é . Conforme estabelecido na homologia de grafos, seus grupos de homologia são dados por:

Esta propriedade pode ser demonstrada por indução matemática sobre a quantidade de arestas do grafo. Cada aresta adicionada ou incrementa o número de 1-ciclos independentes ou decrementa a quantidade de componentes conexas.

Consequentemente, o número de Betti de dimensão zero é igual a , o que corresponde simplesmente ao número de componentes conexas do grafo.

O primeiro número de Betti é dado por . Essa grandeza também é denominada número ciclomático — conceito formulado por Gustav Kirchhoff anteriormente às publicações de Betti. Para aplicações práticas em engenharia de software, consulte complexidade ciclomática.

Todos os demais números de Betti de ordem superior em grafos são identicamente nulos ( para ).

Números de Betti de um complexo simplicial thumb|direita|160px|Exemplo de um complexo simplicial com 0-simplexos a, b, c e d; 1-simplexos E, F, G, H e I; e um único 2-simplexo sombreado J. Considere um complexo simplicial composto pelos seguintes elementos: 0-simplexos (vértices) ; 1-simplexos (arestas) ; e um único 2-simplexo correspondente à região sombreada na figura. A figura apresenta uma única componente conexa (); um buraco fechado, correspondente à região interior não sombreada (); e nenhuma cavidade oca tridimensional ().

Isto significa que o posto de é 1, o posto de é 1 e o posto de é 0.

A sequência dos números de Betti para essa figura é ; o polinômio de Poincaré associado é dado por .

Números de Betti do plano projetivo Os grupos de homologia do plano projetivo real são dados por:

Aqui, é o grupo cíclico de ordem 2. O número de Betti de ordem zero permanece . Entretanto, o primeiro número de Betti é . Isso ocorre porque o grupo é finito e não possui componentes livres infinitas (seu posto é nulo). Essa componente finita constitui o coeficiente de torção de . Os números de Betti (racionais) não detectam a torção presente nos grupos de homologia, mas atuam como invariantes topológicos fundamentais, permitindo quantificar a existência de buracos em cada dimensão.

Propriedades

Característica de Euler Para um complexo CW finito , verifica-se a igualdade:

onde denota a característica de Euler de avaliada sobre qualquer corpo .

Produto cartesiano Para quaisquer dois espaços topológicos e , obtém-se:

onde indica o polinômio de Poincaré de (ou, mais genericamente, a série de Hilbert–Poincaré, para espaços de dimensão infinita), isto é, a função geradora dos números de Betti de :

conforme assegurado pelo teorema de Künneth.

Simetria Se for uma variedade fechada e orientada de dimensão , verifica-se uma relação de simetria que permuta os índices e :

válida para qualquer por meio da dualidade de Poincaré.

Coeficientes distintos A dependência do cálculo em relação ao corpo manifesta-se exclusivamente por intermédio da característica de . Se os grupos de homologia forem livres de torção, os números de Betti independem da escolha de . A correlação entre a presença de -torção e o número de Betti para corpos de característica prima é estabelecida com rigor pelo teorema dos coeficientes universais (por meio do comportamento dos grupos associados ao functor Tor).

Mais exemplos A sequência dos números de Betti para uma circunferência unitária () é ; o respectivo polinômio de Poincaré é dado por: . A sequência dos números de Betti para o 3-toro () é ; o respectivo polinômio de Poincaré é: . De forma análoga, para um -toro (): o polinômio de Poincaré é dado por: (pelo teorema de Künneth), de modo que seus números de Betti correspondem aos coeficientes binomiais.

Espaços que são intrinsecamente de dimensão infinita podem exibir uma sequência infinita de números de Betti não nulos. Um exemplo canônico é o espaço projetivo complexo de dimensão infinita (), cuja sequência de números de Betti é dada por , sendo periódica de período 2. Nesse caso, a função de Poincaré não é um polinômio, mas sim uma série formal infinita: , que, por constituir uma série geométrica, expressa-se como a função racional:

Mais geralmente, qualquer sequência periódica pode ser formulada como uma soma finita de séries geométricas. Por exemplo, a sequência periódica admite a função geradora:

sendo que as sequências recursivas lineares coincidem precisamente com a classe de sequências geradas por funções racionais. Logo, a série de Poincaré é expressável como uma função racional se, e somente se, a sequência de números de Betti satisfizer uma relação de recorrência linear.

Os polinômios de Poincaré associados aos grupos de Lie compactos e simples são dados por:

Relação com as dimensões de espaços de formas diferenciais Em contextos geométricos nos quais é uma variedade fechada, a relevância dos números de Betti surge de uma perspectiva analítica distinta: eles determinam as dimensões dos espaços vetoriais formados pelas formas diferenciais fechadas módulo formas diferenciais exatas. A equivalência com a definição topológica é estabelecida por três resultados teóricos basilares: o teorema de de Rham, a dualidade de Poincaré (quando aplicáveis) e o teorema dos coeficientes universais da topologia algébrica.

Sob uma leitura complementar, os números de Betti fornecem as dimensões dos espaços de formas harmônicas sobre variedades riemannianas compactas. Essa formulação analítica decorre dos resultados fundamentais da teoria de Hodge aplicados ao operador laplaciano de Hodge.

Nesse mesmo cenário, a teoria de Morse estabelece um sistema de desigualdades para somas alternadas dos números de Betti em relação às somas alternadas das quantidades de pontos críticos de uma função de Morse associados a um determinado índice:

Edward Witten forneceu uma demonstração e interpretação analítica dessas desigualdades por meio de métodos da física matemática e supersimetria, deformando a derivada exterior usual no complexo de de Rham.

Ver também Análise topológica de dados Característica de Euler

Bibliografia

Categoria:Topologia algébrica Categoria:Invariantes de grafos