Exemplos de poliedros120pxTetraedro regular Sólido platônico120pxPequeno dodecaedro estrelado Poliedro de Kepler-Poinsot120pxIcosidodecaedro Sólido de Arquimedes120pxGrande cubicoctaedro Poliedro estrelado uniforme120pxTriacontaedro rômbico Sólido de Catalan120pxUm poliedro toroidal thumb|280px|Alguns poliedros fixados em um eixo(Matemateca IME-USP) thumb|280px|Poliedros em revolução ao redor de um eixo fixado(Matemateca IME-USP) thumb|280px|Video demonstrando uma revolução de poliedros Em geometria elementar, o poliedro (poliedros ou poliedros plurais) é um sólido em três dimensões (eixo dos "X", "Y", "Z",…) com faces poligonais planas, bordas retas (arestas) e cantos ou vértices acentuados. A palavra poliedro vem do grego clássico πολύεδρον, o poly- (tronco de πολύς, "muitas") + -hedra (forma de ἕδρα, "faces").
Cubos e pirâmide são exemplos de poliedros.
Diz-se que o poliedro é convexo se sua superfície (compreendendo suas faces, arestas e vértices) não se intercepta e o segmento de linha que une quaisquer dois pontos do poliedro está contido no interior ou na superfície.
Um poliedro é um exemplo tridimensional do politopo mais geral em qualquer número de dimensões.
Bases para definição ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Leonardo_polyhedra.png|miniaturadaimagem|Um poliedro esqueletal (especificamente, o rombicuboctaedro) desenhado por Leonardo da Vinci para ilustrar um livro de Luca Pacioli.
Na geometria elementar,. as faces são polígonos — regiões de planos — que se encontram em pares ao longo de suas arestas, que são segmentos de linha reta, e com as arestas se encontrando em pontos de vértice. Tratar um poliedro como um sólido delimitado por faces planas e bordas retas não é muito preciso; Por exemplo, é difícil conciliar com poliedros estrela. Grünbaum (1994, p.43) observou: "O Pecado Original na teoria dos poliedros remonta a Euclides, e através de Kepler, Poinsot, Cauchy e muitos outros., p. 43. [em que] em cada estágio … os escritores falharam definindo o que são os "poliedros" … "Muitas definições de" poliedro "foram dadas em contextos particulares, alguns mais rigorosos do que outros. Por exemplo, as definições baseadas na ideia de uma superfície de delimitação em vez de um sólido são comuns. No entanto, essas definições nem sempre são compatíveis em outros contextos matemáticos.
Uma abordagem moderna trata o poliedro geométrico como uma injeção no espaço real, a realização, de algum poliedro abstrato.. Qualquer poliedro pode ser construído a partir de diferentes tipos de elemento ou entidade, cada um associado com um número diferente de dimensões: 3 dimensões: O interior é o volume limitado pelas faces. Pode ou não ser realizado como um corpo sólido.
2 dimensões: A face é um polígono delimitado por um circuito de arestas e geralmente também o plano (região) dentro do limite. Estas faces poligonais formam a superfície poliédrica.
1 dimensão: Uma aresta une um vértice a outro e um a outro, e é geralmente um segmento de linha. As bordas juntas formam o esqueleto poliédrico.
0 dimensões: Um vértice (vértices múltiplos) é um ponto de canto. Diferentes abordagens — e definições — podem exigir realizações diferentes.. Às vezes, o volume interno é considerado como sendo parte do poliedro, às vezes apenas a superfície é considerada e, ocasionalmente, apenas o esqueleto de bordas ou mesmo apenas o conjunto de vértices.
Em tais definições elementares geométricas e baseadas em conjuntos, o poliedro é tipicamente entendido como sendo um exemplo tridimensional do politopo mais geral em qualquer número de dimensões. Por exemplo, um polígono tem um corpo bidimensional e sem faces, enquanto um 4-politopo tem um corpo de quatro dimensões e um conjunto adicional de "células" tridimensionais.
Em outras disciplinas matemáticas, o termo "poliedro" pode ser usado para se referir a uma variedade de construções especializadas, algumas geométricas e outras puramente algébricas ou abstratas. Em tais contextos, a definição do termo "poliedro" pode não ser consistente com um politopo, mas em contraste com ele.
Características
Superfície de um Poliedro Uma característica definidora de quase todos os tipos de poliedros é que apenas duas faces se unem ao longo de qualquer bordo comum. Do mesmo modo, qualquer aresta encontra apenas dois vértices, um em cada extremidade. Estas duas características são duplas entre si e asseguram que a superfície poliédrica está ligada continuamente e não termina abruptamente ou se separa em direções diferentes.
Por razões semelhantes, a superfície pode não ser divisível em duas partes, de modo que cada parte é um poliedro válido. Isso exclui tanto os poliedros compostos auto-intersectantes quanto as figuras unidas apenas por um vértice ou uma aresta, como dois tetraedros unidos em um ápice comum.
Cada poliedro simples (sem intersecção automática) tem pelo menos duas faces com o mesmo número de arestas.
Números de faces Poliedros podem ser classificados e muitas vezes são nomeados de acordo com o número de faces. O sistema de nomeação é baseado no grego clássico, por exemplo tetraedro (4), pentaedro (5), hexaedro (6), triacontaedro (30), e assim por diante.
Característica Topológica A classe topológica de um poliedro é definida por sua característica e orientabilidade de Euler.
Nesta perspectiva, qualquer superfície poliédrica pode ser classificada como um certo tipo de coletor topológico. Por exemplo, a superfície de um poliedro convexo ou mesmo simplesmente conectado é uma esfera topológica.
Teorema de Euler/Relação de Euler A característica de Euler x relaciona o número de vértices V, bordas E, e faces F de um poliedro. Isto é igual à característica topológica de Euler de sua superfície. Para um poliedro convexo ou quase todo poliedro simplesmente conectado (isto é, com superfície uma esfera topológica),x = 2.
Para formas mais complicadas, a característica de Euler refere-se ao número de furos toroidais, alças ou tampas cruzadas na superfície x será menor que 2. A descoberta de Leonhard Euler da característica que carrega seu nome marcou o começo da disciplina moderna da topologia., p. 157.
Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação:
V + F = A + 2 ou V - A + F = 2
Essa relação é verdadeira para todos os poliedros convexos.
Os poliedros regulares são conhecidos desde a antiguidade. O livro XIII dos "Elementos" de Euclides (cerca de 300 a.C.) é inteiramente dedicado aos sólidos regulares e contém extensos cálculos que determinam, para cada um, a razão entre o comprimento da aresta e o raio da esfera circunscrita.
A soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo é:
S = (V – 2) × 4r = (V – 2) × 360
Onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto (90º)., p. 180.
Orientação miniaturadaimagem|180x180px||Auto-interseção Klein-bottle, aproximando-se como poliedro quadrilateral Alguns poliedros têm dois lados distintos de sua superfície, por exemplo, o interior e exterior em um modelo de papel de um poliedro convexo pode ser dada de uma cor diferente ,a cor interior será escondido da vista. Dizemos que a figura é orientável. Alguns poliedros orientáveis não convexos têm regiões viradas "de dentro para fora" de modo que ambas as cores aparecem no exterior em lugares diferentes..
Mas para alguns poliedros, como o tetrahemihexaedro, isso não é possível e a superfície é dita ser unilateral. Tal poliedro não é orientável.
Todos os poliedros com a característica Euler de número ímpar χ não são orientáveis. Uma dada figura com mesmo χ <2 pode ou não ser orientável.
Dualidade ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Dual_Cube-Octahedron.svg|miniaturadaimagem|181x181px|O octaedro é dual de um Cubo O octaedro é dual de um cubo.Para cada poliedro existe um poliedro dual, tendo: O octaedro é dual de um Cubo . See in particular the bottom of page 260. Faces no lugar dos vértices do original e vice-versa,
O mesmo número de arestas
A mesma característica e orientabilidade de Euler O dual de um poliedro convexo e de muitos outros poliedros pode ser obtido pelo processo de reciprocidade polar.
Poliedros duplos existem em pares. O dual de um dual é apenas o poliedro original novamente. Alguns poliedros são auto-dual, o que significa que o dual do poliedro é congruente com o poliedro original.
Figura de Vértice Para cada vértice pode-se definir uma figura de vértice, que descreve a estrutura local do poliedro em torno do vértice. Definições precisas variam, mas uma figura de vértice pode ser pensado como o polígono exposto onde uma fatia através do poliedro corta um canto. Se a figura do vértice é um polígono regular, então o vértice em si é dito ser regular.Cromwell (1997), pp. 206–209.
Volume Poliedro Regular Qualquer poliedro regular pode ser dividido em pirâmides congruentes, tendo cada pirâmide uma face do poliedro como sua base e o centro do poliedro como seu ápice. A altura de uma pirâmide é igual ao inradius do poliedro. Se a área de uma face é e o inradius é, então o volume da pirâmide é um terço da base vezes a altura. Para um poliedro regular com faces, seu volume é simplesmente.
Por exemplo, um cubo com bordas de comprimento, tem seis faces, cada face sendo um quadrado de área. O inradius do centro da face para o centro do cubo é, então o volume dado é:
a fórmula usual para o volume de um cubo.
Poliedros orientáveis O volume de qualquer poliedro orientável pode ser calculado usando o teorema da divergência. Considere o campo vetorial cuja divergência é idêntica a 1. O teorema da divergência implica que o volume é igual a uma integral de superfície de:
Quando Ω é a região encerrada por um poliedro, uma vez que as faces de um poliedro são planas e possuem vetores normais constantes por partes. Onde é o baricentro da face, é seu vetor normal e é sua área. Uma vez que as faces são decompostas em um conjunto de triângulos que não se sobrepõem com normais de superfície apontando para fora do volume, o volume é um sexto da soma sobre os produtos triplos das nove coordenadas cartesianas dos vértices dos triângulos.
Como pode ser difícil enumerar as faces, a computação de volume pode ser desafiadora e, portanto, existem algoritmos especializados para determinar o volume (muitos destes generalizam para polítopos convexos em dimensões mais altas)..
Definição formal miniaturadaimagem|197x197px Um poliedro é um conjunto de pontos que pode ser escrito na forma:
Portanto um poliedro é a intersecção de semi-espaços. Dizemos que um poliedro está no formato padrão se ele é escrito como:
É possível demonstrar que qualquer poliedro pode ser escrito na forma padrão.
Exemplos de poliedros
Operações de transformação sobre sólidos Poliedros duais thumb|100px|right|Dual cubo-octaedro O poliedro dual é obtido ligando os centros de todos os pares de faces adjacentes de qualquer sólido, produzindo-se outro sólido menor.
Quando há a dualidade entre dois poliedros dizemos que estes são poliedros conjugados.
Truncatura A Truncatura de um Sólido consiste na remoção dos vértices de um sólido (poliedro). Com isso adquirimos um novo poliedro com mais faces diferentes.
Acumulação A Acumulação de sólidos é a operação dual da truncatura e consiste em substituir as faces poligonais por pirâmides, cúpulas, prismas ou outros poliedros.
Snubificação A Snubificação de um Poliedro consiste em afastar as faces do poliedro, rodar as mesmas um certo ângulo (normalmente 45º) e preencher o espaço vazio entre as novas faces com triângulos.
Expansão A Expansão de Sólido é um caso especial de uma Snubificação sem rotação.
A operação consiste em afastar todas as faces do poliedro e preencher os espaços vazios resultantes com polígonos (triângulos, rectângulos, pentágonos, etc.). Ou seja é uma operação onde um poliedro permite a origem de outro poliedro.
Composição