Em matemática, grupoide é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto não-vazio com uma operação binária parcial, geralmente denotada pela concatenação, onde todo elemento possui um inverso. Um grupoide é uma generalização da estrutura de grupo, e também representa uma categoria pequena em que todos os morfismos são invertíveis.
Definição Um grupoide pode ser definido a partir da teoria das categorias ou de forma axiomática.
Na teoria das categorias, um grupoide é uma categoria pequena em que todo morfismo é invertível, isto é, é um isomorfismo. Isto é:
A classe dos objetos e a classe dos morfismos são conjuntos, para quaisquer . Para todo existe tal que e , isto é,
Para a definição axiomática de grupoide, seja um conjunto não-vazio munido de uma operação binária definida parcialmente . Dados , dizemos que existe se o produto estiver definido, e escrevemos . Um elemento é dito identidade se e então . Então é um grupoide se satisfaz os seguintes axiomas:
Para todo , se e somente se e, neste caso, são iguais; Para todo , se e somente se e ; Para cada existem (únicos) elementos tais que . Estes elementos são, respectivamente, identidade domínio e identidade imagem de ; Para cada existe um (único) elemento tal que e .
Observe que podemos identificar um elemento com um morfismo e, neste caso, e correspondem aos morfismos identidade do domínio e da imagem de . É comum que, neste caso, identifiquemos um objeto com o seu morfismo identidade .
Exemplos O conjunto das matrizes quadradas de ordem com entradas reais é um grupo abeliano com a operação de adição. A união dos grupos é um grupoide, e a soma está definida apenas para matrizes de mesma ordem. Podemos estender este exemplo para matrizes retangulares, também.
Categoria:Teoria das categorias Categoria:Teoria da homotopia