Em matemática, um domínio de ideais principais, ou DIP (do inglês PID), é um domínio de integridade (isto é, um anel comutativo não nulo sem divisores de zero não nulos) no qual todo ideal é principal (isto é, é formado pelos múltiplos de um único elemento). Alguns autores, como Bourbaki, referem-se aos DIPs como anéis principais.

Os domínios de ideais principais são objetos matemáticos que se comportam como os inteiros, em relação à divisibilidade: qualquer elemento de um DIP tem uma fatoração única em elementos primos (portanto, vale um análogo do teorema fundamental da aritmética); quaisquer dois elementos de um DIP têm um máximo divisor comum (embora possa não ser possível encontrá-lo usando o algoritmo de Euclides). Se e são elementos de um DIP sem divisores comuns, então todo elemento do DIP pode ser escrito na forma , etc.

Os domínios de ideais principais são noetherianos, são integralmente fechados, são domínios de fatoração única e domínios de Dedekind. Todos os domínios euclidianos e todos os corpos são domínios de ideais principais.

Os domínios de ideais principais aparecem na seguinte cadeia de inclusões de classes:

Exemplos Exemplos incluem: : qualquer corpo, : o anel dos inteiros,Veja Fraleigh & Katz (1967), p. 73, Corolário do Teorema 1.7, e notas na p. 369, após o corolário do Teorema 7.2 : anéis de polinômios em uma variável com coeficientes em um corpo. (A recíproca também é verdadeira, ou seja, se é um DIP, então é um corpo.) Além disso, um anel de séries de potências formais em uma variável sobre um corpo é um DIP, uma vez que todo ideal é da forma ,* : o anel dos inteiros gaussianos,Veja Fraleigh & Katz (1967), p. 385, Teorema 7.8 e p. 377, Teorema 7.4. (onde é uma raiz cúbica primitiva de 1): os inteiros de Eisenstein, Qualquer anel de valorização discreta, por exemplo, o anel dos inteiros -ádicos .

Contraexemplos Exemplos de domínios de integridade que não são DIPs:

é um exemplo de um anel que não é um domínio de fatoração única, uma vez que Portanto, não é um domínio de ideais principais porque domínios de ideais principais são domínios de fatoração única. Além disso, é um ideal que não pode ser gerado por um único elemento. : o anel de todos os polinômios com coeficientes inteiros. Não é principal porque é um ideal que não pode ser gerado por um único polinômio. o anel de polinômios em pelo menos duas variáveis sobre um anel não é principal, uma vez que o ideal não é principal. A maioria dos anéis de inteiros algébricos não são domínios de ideais principais. Esta é uma das principais motivações por trás da definição de Dedekind de domínios de Dedekind, que permite substituir a fatoração única de elementos pela fatoração única de ideais. Em particular, muitos para a raiz p-ésima primitiva da unidade não são domínios de ideais principais. O número de classe de um anel de inteiros algébricos dá uma medida de "quão longe" o anel está de ser um domínio de ideais principais.

Módulos

O resultado principal é o teorema de estrutura: Se R é um domínio de ideais principais e M é um R-módulo finitamente gerado, então é uma soma direta de módulos cíclicos, ou seja, módulos com um gerador. Os módulos cíclicos são isomórficos a para algum Veja também Ribenboim (2001), p. 113, prova do lema 2. (note que pode ser igual a , caso em que é ).

Se M é um módulo livre sobre um domínio de ideais principais R, então todo submódulo de M é novamente livre.Lecture 1. Submodules of Free Modules over a PID math.sc.edu Recuperado em 31 de março de 2023 Isso não vale para módulos sobre anéis arbitrários, como mostra o exemplo de módulos sobre .

Propriedades Em um domínio de ideais principais, quaisquer dois elementos têm um máximo divisor comum, que pode ser obtido como um gerador do ideal .

Todos os domínios euclidianos são domínios de ideais principais, mas a recíproca não é verdadeira. Um exemplo de um domínio de ideais principais que não é um domínio euclidiano é o anel ,Wilson, Jack C. "A Principal Ring that is Not a Euclidean Ring." Math. Mag 46 (Jan 1973) 34-38 George Bergman, A principal ideal domain that is not Euclidean - developed as a series of exercises Arquivo PostScript isso foi provado por Theodore Motzkin e foi o primeiro caso conhecido. Neste domínio não existem e , com , tal que , apesar de e terem um máximo divisor comum de .

Todo domínio de ideais principais é um domínio de fatoração única (DFU).Prova: todo ideal primo é gerado por um elemento, que é necessariamente primo. Agora consulte o fato de que um domínio de integridade é um DFU se e somente se seus ideais primos contêm elementos primos.Jacobson (2009), p. 148, Teorema 2.23.Fraleigh & Katz (1967), p. 368, Teorema 7.2Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.166, Teorema 7.2.1. A recíproca não é verdadeira, pois para qualquer DFU , o anel de polinômios em 2 variáveis é um DFU, mas não é um DIP. (Para provar isso, observe o ideal gerado por Não é o anel inteiro, pois não contém polinômios de grau 0, mas não pode ser gerado por nenhum elemento único.)

Todo domínio de ideais principais é noetheriano. Em todos os anéis unitários, os ideais maximais são primos. Em domínios de ideais principais, vale uma quase recíproca: todo ideal primo não nulo é maximal. Todos os domínios de ideais principais são integralmente fechados.

As três afirmações anteriores dão a definição de um domínio de Dedekind, e, portanto, todo domínio de ideais principais é um domínio de Dedekind.

Seja A um domínio de integridade, as seguintes afirmações são equivalentes.

A é um DIP. Todo ideal primo de A é principal. A é um domínio de Dedekind que é um DFU. Todo ideal finitamente gerado de A é principal (isto é, A é um domínio de Bézout) e A satisfaz a condição de cadeia ascendente em ideais principais. A admite uma norma de Dedekind-Hasse.Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.170, Proposição 7.3.3.

Qualquer norma euclidiana é uma norma de Dedekind-Hasse; assim, (5) mostra que um domínio euclidiano é um DIP. (4) compara-se a: Um domínio de integridade é um DFU se e somente se for um domínio MDC (isto é, um domínio onde quaisquer dois elementos têm um máximo divisor comum) satisfazendo a condição de cadeia ascendente em ideais principais. Um domínio de integridade é um domínio de Bézout se e somente se quaisquer dois elementos nele tiverem um mdc que seja uma combinação linear dos dois. Um domínio de Bézout é, portanto, um domínio MDC, e (4) fornece mais uma prova de que um DIP é um DFU.

Ligações externas Anel principal no MathWorld Categoria:Estruturas algébricas Categoria:Teoria dos anéis Categoria:Álgebra comutativa