miniaturadaimagem|Rotação de uma curva. A superfície formada é uma superfície de revolução thumb|280px|Revolução de poliedros (Matemateca Ime-Usp) Em matemática, engenharia e manufatura, um sólido de revolução é uma figura sólida obtida pela rotação de um plano de curva em torno de alguma linha reta (o eixo), que se situa no mesmo plano.
Supondo que a curva não cruze o eixo, o volume do sólido será igual ao comprimento do círculo descrito pelo centróide da figura, multiplicado pela área da figura (segundo oteorema do centroide de Papo-Guldino).
Um disco representante é um elemento de volume tridimensional de um sólido de revolução. O elemento é criado pela rotação de um segmento de linha (de comprimento ) em torno de algum eixo (localizado r unidades de distância), para que um volume cilíndrico de unidades seja fechado.
Encontrando o volume Dois métodos comuns para encontrar o volume de um sólido de revolução são: O método de disco e o método de integração por camada . Para aplicar estes métodos, é mais fácil desenhar o gráfico em questão; identificar a área que está sendo girada em torno do eixo de revolução; determinar o volume de um disco em forma de fatia de um sólido, com espessura , ou uma camada cilíndrica de largura ; e, em seguida, encontrar o limite da soma destes volumes como aproximando-se de 0, um valor que pode ser encontrado através da escolha de uma integral apropriada.
Método dos discos direita|miniaturadaimagem|Disco de integração sobre o eixo y O método dos discos é usado quando a fatia que foi desenhada é perpendicular ao eixo de revolução; isto é, quando a integração é paralela ao eixo de revolução.
O volume do sólido formado pela rotação da área entre as curvas de e e as linhas de e sobre o eixo x é dada por
Se (e.g. rotacionando uma área entre a curva e o eixo x), esta se reduz a:
O método pode ser visualizado considerando um fino retângulo horizontal entre y e na parte superior e na parte inferior, e tendo sobre o eixo y a forma de um anel (ou disco no caso em que ), com raio externo e raio interno . A área de um anel é , onde R é o raio exterior (neste caso, ), e r é o raio interno (neste caso, ). O volume de cada disco infinitesimal é, portanto, . O limite de Riemann é a soma dos volumes dos discos entre a e b tornando-se integral (1).
Método do cilindro direita|miniaturadaimagem|A integração de camadas
O método das camadas cilíndricas é utilizado quando a fatia que foi desenhada é paralela ao eixo de revolução; isto é, quando a integração é perpendicular ao eixo de revolução.
O volume do sólido formado pela rotação da área entre as curvas de e e as linhas de e sobre o eixo y é dada por:
Se e.g. rotacionando uma área entre a curva e o eixo y, esta se reduz a:
miniaturadaimagem|Sólidos em repouso miniaturadaimagem|Sólidos rotacionando formando Sólidos de revolução O método pode ser visualizado considerando um fino retângulo vertical em x com altura , e tendo sobre o eixo y, a forma de uma camada cilíndrica. A área lateral da superfície de um cilindro é , onde r é o raio (neste caso, x), e h é a altura (neste caso ). Somando-se todas as áreas de superfície ao longo do intervalo teremos o volume total.
Forma paramétrica miniaturadaimagem|Matemática e arte: estudo de um vaso como um sólido de revolução por Paolo Uccello. Século 15 Quando uma curva é definida por sua forma paramétrica em algum intervalo , os volumes dos sólidos gerados por rotacionarem a curva em torno do eixo x ou do eixo y são dados por:
Sob as mesmas circunstâncias, as áreas das superfícies dos sólidos gerados por rotacionarem a curva em torno do eixo x ou do eixo y são dados por
Ver também Superfície de revolução Teoremas de Pappus-Guldinus
Notas
Referências
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Categoria:Cálculo integral