As identidades a seguir são relevantes para o Cálculo Vetorial:
Notação de Operadores
Gradiente
No Sistema de coordenadas cartesiano em três dimensões, o gradiente de alguma função é dado por:
onde i, j, k são os vetores de uma Base ortonormal.
O gradiente de um campo tensorial, , de ordem n é geralmente escrito como:
e é um campo tensorial de ordem . Em particular, se o campo tensorial tem ordem 0, como por exemplo um campo escalar , o gradiente resultante,
é um campo vetorial.
Divergente
No espaço cartesiano tridimensional, a divergência de uma campo vetorial continuamente diferenciável é definida como a função escalar:
A divergência de um campo tensorial, , de ordem não nula n, é geralmente escrita como
e é uma contração para um tensor de ordem . Especificamente, a divergência de um vetor é um escalar. A divergência de um campo tensorial de ordem superor pode ser encontrada decompondo-se o campo tensorial na soma dos produtos externos, assim permitindo o uso da identidade,
onde é a derivada direcional na direção multiplicada pela sua magnitude. Especificamente, para o produto externo de dois vetores,
Rotacional
Em coordenadas cartesianas, para :
onde i, j, and k são os vetores unitários para os eixos x-, y-, e z- , respectivamente.
Para um campo vetorial tridimensional , o rotacional também é um campo vetorial tridimensional, normalmente escrito como:
ou na Notação de Einstein como:
onde ε é o Símbolo de Levi-Civita.
Laplaciano
Em coordenadas cartesianas, o Laplaciano de uma função é
Para um campo tensorial, , o laplaciano é geralmente escrito como:
e é um campo tensorial de mesma ordem.
Notações especiais Na Notação de Feynman,
onde a notação ∇B significa que o gradiente subscrito opera somente no fator B.
Uma ideia semelhante mas menos geral é utilizada na álgebra geométrica, onde a notação de sobreponto Hestenes é utilizada. A identidade acima é então expressada como:
onde o sobreponto define o escopo da derivada vetorial. O vetor com sobreponto, neste caso B, é diferenciado, enquanto o A, sem ponto, é mantido constante.
Pelo resto deste artigo, a notação subscrita de Feynman será usada onde for apropriado.
Propriedades
Propriedades distributivas
Regra do Produto para o Gradiente O gradiente do produto de dois campos escalares and segue a mesma forma da regra do produto no cálculo de variável simples.
Produto de um Escalar e um Vetor
Regra do Quociente
Regra da Cadeia
Produto Escalar ou Produto Vetorial Interno
onde denota o Jacobiano de .
Alternativamente, usando notação subscrita de Feynman,
Como um caso especial, quando ,
Produto Vetorial
Derivações Segundas
Rotacional do Gradiente
O rotacional do gradiente de qualquer campo escalar contínuo duplamente diferenciável é sempre o vetor nulo.
Divergente do Rotacional O divergente do rotacional de qualquer campo vetorial A (cujas componentes são funções que admitem a segunda derivada, sendo a última uma função contínua) é sempre zero:
Divergente do Gradiente O Laplaciano de um campo escalar é o divergente do seu gradiente:
O resultado é um valor escalar.
Rotacional do Rotacional
Aqui,∇2 é o vetor Laplaciano operando no campo vetorial A.
Sumário de Identidades Importantes
Adição e Multiplicação
(Produto triplo) (Produto triplo) (Produto triplo) (Identidade de Jacobi) (Identidade de Jacobi)
Diferenciação
Gradiente
Divergente
Rotacional
Derivações Segundas miniaturadaimagem|DCG chart:
Um mapa demonstrando todas as regras pertinentes as segundas derivações.
D, C, G, L e CC representam, respectivamente, divergente, rotacional, gradiente, Laplaciano e rotacional do rotacional.
As setas indicam a existência de segundas derivações. O círculo azul no centro representa o rotacional do rotacional, enquanto os outros dois círculo vermelhos tracejados significam que divergente do divergente e gradiente do gradiente não existem.
(Laplaciano escalar) (Laplaciano vetorial)
(Identidade vetorial de Green)
Derivações Terceiras
Integração Abaixo, o símbolo ∂ significa "contorno de".
Integrais de Superfície-volume Nos teoremas de integral de superfície-volume, V denota o volume tridimensional correspondente ao contorno bidimensional S = ∂V (uma superfície fechada):
(Teorema da divergência)
(Primeira Identidade de Green)
(Segunda Identidade de Green)
Integrais de Curva-Superfície Nos teoremas de integral de curva-superfície a seguir S denta uma superfície bidimensional aberta com contorno correspondente (uma curva fechada):
(Teorema de Stokes)
Integração ao redor de uma curva fechada no sentido horário é o negativo da mesma integral de linha no sentido anti-horário, o que é análogo a mudar a inverter os limites em uma integral definida.
Referências
Leitura Adicional
Categoria:Cálculo vetorial Categoria:Listas de matemática