Na matemática, um passeio aleatório de tempo contínuo (PATC) é uma generalização de um passeio aleatório em que a partícula errante espera por um tempo aleatório entre os saltos. É um processo de salto estocástico com distribuições arbitrárias de comprimentos de salto e tempos de parada. De forma mais generalizada, pode ser visto como um caso especial de um processo de renovação de Markov.
Motivação O PATC foi introduzido pelos matemáticos norte-americanos Elliott Waters Montroll e George Herbert Weiss em 1965 como uma generalização do processo de difusão física para descrever efetivamente a difusão anômala, isto é, os casos superdifusivo e subdifusivo. Uma formulação equivalente do PATC é dada por equações mestre generalizadas. Uma conexão entre PATCs e equações de difusão com derivadas de tempo fracionárias foi estabelecida. De forma semelhante, equações de difusão fracionárias de tempo-espaço podem ser consideradas PATCs com saltos continuamente distribuídos ou aproximações em continuidade de PATCs em reticulados.
Formulação Uma formulação simples de um PATC consiste em considerar o processo estocástico definido por:cujos incrementos são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas que assumem valores em um domínio , sendo o número de saltos no intervalo . A probabilidade de que o processo assuma o valor no tempo é dada por:Aqui, é a probabilidade que o processo assuma o valor depois de saltos e é a probabilidade de ter saltos depois do tempo .
Fórmula de Montroll–Weiss Denotamos por o tempo de espera entre dois saltos de e por sua distribuição. A transformada de Laplace de é definida por:De forma semelhante, a função característica da distribuição de saltos é dada por sua transformada de Fourier:Pode-se mostrar que a transformada de Laplace–Fourier da probabilidade é dada por:Esta é a chamada fórmula de Montroll–Weiss.
Exemplos O processo de Wiener é o exemplo padrão de um passeio aleatório de tempo contínuo no qual os tempos de espera são exponenciais e os saltos são contínuos e normalmente distribuídos.
Categoria:Processos estocásticos