Em matemática, e mais especificamente na topologia algébrica , a característica de Euler (ou característica de Euler–Poincaré) é um invariante topológico, um número que descreve a forma ou a estrutura de um espaço topológico independentemente da forma como ela é dobrada. Este invariante foi descoberto por Leonhard Euler e demonstrada em geral por Henri Poincaré e costuma ser denotado por (a letra grega Chi).
A característica de Euler foi definida originalmente para poliedros, tendo sido utilizada para demonstrar vários teoremas sobre eles, incluindo a classificação dos sólidos platônicos. Leonhard Euler, matemático cujo nome é atribuído ao conceito, foi responsável por grande parte deste trabalho inicial. Na matemática moderna, a característica de Euler surge a partir da homologia e está relacionada a vários outros invariantes.
Definição A característica de Euler de um complexo simplicial é dada por
onde é o número de células de dimensão .
Característica de Euler de superfícies thumb|A característica de Euler de um cubo (topologicamente uma esfera) é 6-12+8=2. A característica de Euler de uma superfície é dada por , onde e são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de . Em particular a característica de Euler: da esfera é do plano projectivo é do disco é do toro é do anel é da garrafa de Klein é da fita de Möbius é
e em geral , onde é o género de , quando orientável e compacta.
Exemplos de poliedros convexos
A fórmula de Euler para poliedros convexos é V + F = A + 2, e a característica de Euler generaliza esta expressão para qualquer número de dimensões e para polítopos que não são, topologicamente, equivalentes à esfera (ou hiperesfera).
NameImageVérticesVArestasAFacesFCaracterística de Euler:V − A + FTetraedro50px4642Hexaedro ou cubo50px81262Octaedro50px61282Dodecaedro50px2030122Icosaedro50px1230202
Característica de Euler de variedades de dimensão ímpar Pela dualidade de Poincaré, a característica de Euler de uma variedade fechada e compacta de dimensão ímpar é nula.
Categoria:Leonhard Euler Categoria:Topologia algébrica