Sem perda de generalidade (também abreviado para SPDG; menos comumente escrito como sem qualquer perda de generalidade) é uma expressão frequentemente usada em matemática. O termo é usado para indicar que a suposição que se segue é escolhida arbitrariamente, restringindo a premissa a um caso particular, mas não afeta a validade da prova em geral. Os outros casos também são comprovados por alguma simetria — ou outra equivalência ou semelhança. Como resultado, uma vez que uma prova é fornecida para o caso particular, é trivial adaptá-la para provar a conclusão em todos os outros casos.
Em muitos cenários, o uso de "sem perda de generalidade" é possibilitado pela presença de simetria. Por exemplo, se alguma propriedade de números reais é conhecida por ser simétrica em e , ou seja, que é equivalente a , então, ao provar que vale para cada e , pode-se supor, "sem perda de generalidade", que . Não há perda de generalidade nesta suposição, uma vez que o caso foi provado, o outro caso segue por ,a partir da implicação comprovada trocando x e y e por simetria de P mostrando assim que é válido para todos os casos.
Por outro lado, se tal simetria (ou outra forma de equivalência) não puder ser estabelecida, o uso de "sem perda de generalidade" é incorreto e pode equivaler a um prova por exemplo — uma falácia lógica de provar uma afirmação provando um exemplo não representativo.
Exemplo
Considere o seguinte teorema (que é um caso do princípio da casa dos pombos):
Uma prova:
Aqui, observe que o argumento acima funciona porque o mesmo raciocínio exato poderia ser aplicado se a suposição alternativa, a saber, que o primeiro objeto é azul, fosse feita. Como resultado, o uso de "sem perda de generalidade" é válido neste caso.
Ver também
Salvo (matemática)
References
Ligações externas
"Without Loss of Generality" by John Harrison - discussion of formalizing "WLOG" arguments in an automated theorem prover.
Categoria:Terminologia matemática