thumb|250px|Séries temporal, aleatória e sazonal

Em estatística, econometria, matemática aplicada e processamento de sinais, uma série temporal é uma coleção de observações feitas sequencialmente ao longo do tempo. Em modelos de regressão linear com dados cross-section a ordem das observações é irrelevante para a análise, em séries temporais a ordem dos dados é fundamental. Uma característica muito importante deste tipo de dados é que as observações vizinhas são dependentes e o interesse é analisar e modelar essa dependência.

As séries temporais existem nas mais variadas áreas de aplicação, como: finanças, marketing, economia, seguros, demografia, ciências sociais, meteorologia, energia, epidemiologia, etc.

Definição formal

Uma série temporal é uma sequência de realizações (observações) de uma variável ao longo do tempoWOOLDRIDGE, Jeffrey M. Introductory Econometrics: a Modern Approach. 2000, South-Western College Publishing, a division of Thomson Learning. ISBN 0-538-85013-2. Capítulo 1, Página 8. Dito de outra forma, é uma sequência de pontos (dados numéricos) em ordem sucessiva, geralmente ocorrendo em intervalos uniformes. Portanto, uma série temporal é uma sequência de números coletados em intervalos regulares durante um período de tempo.

São séries temporais NÃO são séries temporais Uma série que mostra a temperatura diária de uma cidade ao longo do ano. Um conjunto de dados sobre a temperatura de várias cidades, com dados recolhidos no mesmo dia ou em períodos diferentes. Número de homicídios anuais num país: Número de homicídios de um certo país em determinado ano, em diferentes regiões. O salário mensal de um determinado indivíduo ao longo do ano. Os salário dos habitantes de uma cidade em janeiro de 2011.

Em Economia Em economia, desde o trabalho de Trygve Haavelmo, têm-se interpretado séries temporais como realizações de processos estocásticos (aleatórios). Esta abordagem permite que o construtor do modelo econômico use a inferência estatística para construir e testar equações que caracterizam as relações entre variáveis ​​econômicasROYAL SWEDISH ACADEMY OF SCIENCES. Time-series Econometrics: Cointegration and Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Disponível em: <http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/HoldingPen/NobelPrizeInfo.pdf>. Acesso em; 18 de setembro de 2011.. Note-se que esta definição pressupõe que a série temporal contenha um componente estocástico, o que é verdade na vasta maioria dos casos práticos.

São exemplos de séries temporais utilizadas em economia: Preço, minuto a minuto, da ação de certa empresa na bolsa de valores:

Vendas mensais de carros:

Convenções utilizadas para representar uma série temporal Uma série temporal é geralmente representada por uma letra. A variável representada assume diferentes valores em diferentes momentos do tempo, e por isso utiliza-se um subscrito junto à letra para denotar o período a que o valor específico (realização) se refere. Por exemplo, se a variável "PIB anual do Brasil" for representada pela letra y, podemos denotar por y0 o PIB do primeiro período. O dado do período seguinte seria, neste mesmo caso, y1.

Teríamos, portanto, neste exemplo:

Período em análise Representação deste ano na série temporal Representação do valor assumido pela variável y em cada período Valor efetivamente assumido pela variável y em cada período (PIB do Brasil no ano) 2004 (ano inicial) reaisIBGE. Componentes do Produto Interno Bruto sob as três óticas - 2004-2008. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/economia/contasnacionais/2008/tabelas_pdf/tab04.pdf >. Acesso em: 17 de setembro de 2011. = PIB anual de 2004. 2005 reais 2006 reais 2007 reais

Componentes de uma série temporal Uma série temporal pode ser genericamente decomposta nos seguintes itensSHIKIDA, Pery Francisco Assis e MARGARIDO, Mario Antonio. Uma análise econométrica de sazonalidade dos preços da cana-de-açúcar, estado do Paraná, 2011-2007. In: Informações Econômicas, SP, v.39, n.2, fev. 2009. Disponível em: <ftp://ftp.sp.gov.br/ftpiea/publicacoes/IE/2009/tec7-0209.pdf>. Acesso em: 25 de agosto de 2012.:

Componente Descrição É um componente determinístico (fruto de uma equação)? É um componente estocástico (resultado de processo aleatório)? Tendência Capta elementos de longo prazo relacionados com a série de tempo Pode ser Pode ser Ciclo Longas ondas, mais ou menos regulares, em torno de uma linha de tendência Sazonalidade Capta os padrões regulares da série de tempo Aleatório Capta todos os efeitos que não foram incorporados pela série de tempo via os três componentes anteriormente citados, ou seja, é o resíduo Não Sempre

Lei de formação das séries temporais

300px|thumb|Três funções lineares. Se o eixo "x" representar alguma variável explicativa ao longo do tempo, então estas funções são séries temporais que contém apenas o componente determinístico

As séries temporais são muitas vezes representadas por meio de funções matemáticas, ou seja, assume-se que o valor obtido é função de alguma outra variável (ou de diversas variáveis), ou, o que é a mesma coisa, que existe uma lei de formação que determina esta série temporal.

A função que determina a série temporal não precisa ser sempre linear. Na verdade, ela pode ter qualquer formato (quadrática, exponencial...) e pode depender de mais de uma variável. No entanto, uma boa parte da (mas não toda a) econometria trata apenas de funções lineares, que são mais fáceis de modelar.

Os componentes de uma série temporal podem ser determinísticos e/ou estocásticos.

Componente determinístico Quando os valores da série podem ser escritos através de uma função matemática perfeitamente determinada por uma ou mais variáveis, diz-se que ela contém apenas o componente determinístico.

Exemplo 1

Tome-se a seguinte função linear, que chamaremos de função "f":

Função teórica Exemplo de forma que esta função pode assumir (linha verde na figura ao lado)

Nesta função, a variável depende de, ou é determinada pela, variável . Matematicamente, poderíamos representar também de outra forma: .

A convenção utilizada nesta série temporal é a seguinte: y representa o dado obtido. a representa o intercepto x representa a variável que determina y. o subscrito "t" indica o período à qual o dado se refere.

Se fôssemos analisar a função a partir do período em que x=0, teríamos:

Período Valor assumido por x (informação coletada pelo pesquisador) Valor assumido por y (consequência do valor que x assumiu) t=0 t=1 t=2

Exemplo 2

Como o PIB do Brasil é sempre (perfeitamente) determinado pela soma do PIBs das cinco regiões, podemos escrever a seguinte lei de formação da série temporal yt:

onde: =PIB do Brasil no ano "t", =PIB da Região Norte no ano "t", =PIB da Região Nordeste no ano "t", =PIB da Região Sudeste no ano "t", =PIB da Região Sul no ano "t" e =PIB da Região Centro-Oeste no ano "t"

Note que, como esta relação é sempre perfeita (não existe possibilidade de o PIB nacional ser maior ou menor que a soma dos PIBs regionais), diz-se que esta série temporal (yt) contém apenas o componente determinístico.

Componente estocástico

Além dos componentes normais de uma função matemática perfeitamente determinada, a representação de uma série temporal pode incluir um componente aleatório, que deverá ser gerado por um processo estocástico, normalmente representado por ou . Um exemplo de uma série temporal com componente aleatório é:

Neste caso, a série temporal é denominada de estocástica. Note-se que uma série estocástica yt pode ou não conter um componente determinístico. O que lhe confere um carácter estocástico é o facto de não se poder determinar o seu valor exacto mesmo conhecendo a sua especificação e o valor de todos os seus determinantes, isto porque a série possui uma natureza intrinsecamente aleatória.

Exemplo 1 Suponha que dois irmãos façam uma aposta anual em dinheiro. A quantidade de dinheiro a ser paga ao irmão 1 é determinada pela série temporal abaixo (derivada do modelo anterior):

onde é o valor em reais que o irmão 1 vai receber. Se o valor for negativo, o irmão 1 deve pagar ao irmão 2, em vez de receber. a= intercepto = -2 b= inclinação = 0,2 é a o número de anos que o irmão 1 tem no dia da aposta. é uma variável aleatória com distribuição binomial que assume o valor 10 se chover no dia, e -20 se não chover. Note-se que esta variável introduz a incerteza, pois não se pode saber, a priori, quanto o irmão 1 deverá pagar para, ou receber do, irmão 2.

Assim, teremos:

ano Idade do irmão 1 (variável xt) Choveu? Valor de (consequência de ter chovido ou não) Valor de (=valor a ser pago ou recebido) 19 sim 10 reais 20 não -20 reais 21 sim 10 reais 22 não -20 reais

Exemplo 2 Alguns autores afirmam que o desemprego do Brasil é aproximadamente determinado pelos seguintes fatores: produção (PIB); produtividade; salário real e população economicamente ativaCAMPOS,Ma. de Fátima S. de Souza e CAMPOS, Luís Henrique Romani. Evolução do Mercado de Trabalho no Brasil no período 1991-2000 e seus Reflexos sobre o Desemprego: Um Estudo Empírico. Disponível em: <http://www.sep.org.br/artigo/6_congresso_old/vicongresso38.pdf>. 2001?. Acesso em: 17 de setembro de 2011.. É importante enfatizar que esta é uma determinação aproximada. Afinal, o desemprego pode aumentar por outros fatores, como por exemplo o fechamento inesperado de uma grande empresa, um decreto aumentando o salário mínimo para R$ 10 mil reais etc. Portanto, estas variáveis explicam aproximadamente, mas não exatamente, a taxa de desemprego.

Assim, ignorando algumas tecnicalidades para simplificar, poderíamos elaborar a seguinte lei de formação:

onde: dt é a taxa de desemprego de determinado período yt é o PIB do país pt é a produtividade por trabalhador, medida por exemplo em unidades produzidas por trabalhador st é o salário real do trabalhador, medido em reais brasileiros corrigidos pelo IPCA a preços do último período analisado it é o percentual da população brasileira que está economicamente ativa em cada período é um componente aleatório idêntica e independentemente extraído de uma distribuição normal

Classificação das séries temporais As séries temporais podem ser estacionárias ou não estacionárias (têm ou não raiz unitária). Além disso, podem ser estocásticas ou determinísticasBUENO, Rodrigo de Losso da Silveira. Econometria de Séries Temporais. São Paulo: Cengage Learning, 2008. 299 páginas. ISBN 978-85-221-0642-4.

Quando os valores da série podem ser escritos através de uma função matemática diz-se que a série é determinística. Quando a série envolve, além de uma função matemática do tempo, também um termo aleatório a série é chamada estocástica. Normalmente as séries temporais são analisadas a partir de seus principais movimentos descritos como: tendência, ciclo, sazonalidade e variações aleatórias.

Série estacionária

Uma série estacionária é o que em matemática costuma se chamar série convergente, ou seja, aquela que flutua em torno de uma mesma média ao longo do tempo.

Para garantir que o componente estocástico também flutue ao redor de uma mesma média, assume-se, por exemplo que ele seja um componente aleatório idêntica e independentemente extraído de uma distribuição normal. Digamos:

, ou seja, o componente aleatório provém de uma distribuição normal com média zero e variância finita.

Série temporal estacionária apenas com componente determinístico Série temporal estacionária com componente estocástico (contém ), com ou sem o componente determinístico Exemplo teórico Exemplo 1: , onde é uma constante; Exemplo 2: , onde b é uma constante , onde é uma constante; Exemplo com números Exemplo 1: ; Exemplo 2: ;

Série não estacionária

A série não estacionária (ou divergente, em matemática), é aquela que tem raiz unitária.