alt=NM-method|direita|miniaturadaimagem| Método NM O método NM ou método Naszodi-Mendonça é uma operação que pode ser aplicada em estatística, econometria, economia, sociologia e demografia para construir tabelas de contingência contrafactuais . O método produz uma matriz ( ) que minimiza uma medida de distância face à matriz ( chamada tabela de origem) - ver definição de distância aplicada no método NM - , mas com os totais de linha e coluna de uma matriz de destino . Enquanto que os totais das linhas e os totais das colunas de são conhecidos, matriz em si pode ser desconhecida.
Como a solução para a matriz é única, o método NM é uma função: , onde é um vetor linha com todos os elementos iguais a um, com dimensão , enquanto é um vetor coluna de dimensão .
O método NM foi desenvolvido por Naszodi e Mendonça (2021) (e aplicado pela primeira vez por Naszodi e Mendonca (2019) ) para encontrar a matriz em problemas, onde a matriz não é uma amostra da população caracterizada pelos totais de linhas e totais de colunas da matriz , mas representa outra população .
A aplicação visava quantificar as mudanças intergeracionais sobre a homofilia educacional e, assim, medir a mudança histórica na desigualdade social entre diferentes grupos educacionais nos EUA entre 1980 e 2010. A tendência da desigualdade foi encontrada em forma de U, apoiando a visão de que com políticas sociais e económicas apropriadas a desigualdade pode ser reduzida.
Definição de rank de matriz A proximidade entre duas matrizes com a mesma dimensão pode ser definida de várias maneiras. A distância euclidiana e a divergência de Kullback-Leibler são dois exemplos bem conhecidos.
O método NM é consistente com a definição baseada no índice ordinal de Liu-Lu que é a versão modificada do índice de Coleman definido pela Eq. (15) em Coleman (1958). De acordo com esta definição, a matriz é a "mais próxima" da matriz , se seus valores dados pelo indice de Liu-Lu forem os mesmos. Por outras palavras, se os valores da matriz forem ordenados da mesma forma pelo índice Liu-Lu ordinal.
Se a matriz é uma matriz 2-por-2, o índice Liu-Lu, uma valor escalar, é definido como
, onde ; ; ; ; .
Seguindo Coleman (1958), este índice pode ser interpretado como o “observado menos o esperado sobre o máximo menos o mínimo”, onde é o valor observado com posição na matriz de origem ; é o o valor esperado (inteiro) sob as suposições contrafactuais de que o total da linha correspondente e o total da coluna de são predeterminados, enquanto o seu interior é aleatório. Também, é o valor mínimo se a associação entre a variável de linha e a variável de coluna de for não negativa. Finalmente, é o valor máximo de ( ) para o total da linha dada e coluna total .
Para uma matriz de dimensão n-m ( , ), o índice Liu-Lu foi generalizado por Naszodi e Mendonça (2021) para um índice com valor de matriz. Uma das pré-condições para a generalização é que a variável de linha e a variável de coluna da matriz tem que ser ordenada . Equacionando o índice Liu-Lu generalizado da matriz com o da matriz é equivalente a dicotomizar a variável de linha ordenada e variável de coluna ordenada, dando origem a alternativas, explorando a natureza ordenada das variáveis de linha e coluna. De seguida, equaciona-se os índices Liu-Lu originais de valor escalar das matrizes 2-por-2, obtidas com as dicotomizações, ou seja, para qualquer par de ( , e ) a restrição é imposta, onde é a matriz com o de dimensão , e o de dimensão . De forma similar, de dimensão é uma matriz dada pela transposta decom o de dimensão , e o de dimensão .
Restrições nos totais de linhas e totais de colunas A matriz deve satisfazer não só a condição mas também o par de restrições nos totais de linhas e totais de colunas: e .
Solução Assumindo que para todos os pares (onde , e ), a solução para é única, determinística e dado por uma fórmula fechada .
Para matrizes e de dimensão , a solução é
.
As outras 3 células da matriz são exclusivamente determinadas pelos totais de linha e totais de coluna. Portanto, é assim que o método NM funciona para tabelas de origem 2 por 2.
Para matrizes , e com dimensão ( , ), a solução é obtida pela dicotomização de sua variável de linha ordenada e variável de coluna ordenada de todas as maneiras significativas possíveis. De seguida, resolve-se problemas da forma 2-por-2. Cada problema é definido para um par ( e ), colocando a restrição , bem como a restrição sobre os totais da linha da matriz de destino e os totais da coluna da matriz de destino: , e , respectivamente. Cada problema deve ser resolvido separadamente pela fórmula para . O conjunto de soluções determina entradas da matriz . Os restantes elementos são determinados exclusivamente pelos totais da linha e os totais de coluna matriz de destino.
Em seguida, apresenta-se um exemplo de aplicação do método NM quando a matriz é tal que a segunda <b id="mwpw">pré-condição</b> não é cumprida para .
Se para todos os pares de , a solução para também é única, determinística e dada por uma fórmula de forma fechada. No entanto, o conceito correspondente de rank de matriz é ligeiramente diferente daquele discutido acima . Liu e Lu (2006) definem-no como , onde ; é o menor inteiro sendo maior ou igual a .
Finalmente, nem o método NM, nem é definido se tal que , enquanto para outro par de .
Um exemplo numérico Considere a seguinte complementada com os totais de linha e totais de coluna e os alvos, ou seja, os e : Z 1 2 3 4 TOTAL ALVO 1 240 2 235 3 185 4 140 TOTAL 210 230 185 175 800 ALVO 1.000 Na primeira etapa do método NM, a é multiplicada pelas matrizes , e para cada par de ( , e ). Esta operação produz as seguintes 9 matrizes de tamanho 2 por 2 com seus totais de linha de destino e totais de coluna: ++ 12TOTALALVO1120120240400290470560600TOTAL210590800ALVO4006001,000+12TOTALALVO119050240400225030560600TOTAL440360800ALVO7003001,00012TOTALALVO1220202404002405155560600TOTAL625175800ALVO9001001,00012TOTALALVO1170305475700240285325300TOTAL210590800ALVO4006001,00012TOTALALVO13401354757002100225325300TOTAL440360800ALVO7003001,00012TOTALALVO1420554757002205120325300TOTAL625175800ALVO9001001,00012TOTALALVO1200460660850210130140150TOTAL210590800ALVO4006001,00012TOTALALVO1410250660850230110140150TOTAL440360800ALVO7003001,00012TOTALALVO15659566085026080140150TOTAL625175800ALVO9001001,000 O próximo passo consiste em calcular o índice Liu-Lu generalizado com valor de matriz , (onde ) aplicando a fórmula do índice Liu-Lu de valor escalar original a cada uma das 9 matrizes: 0,39 0,54 0,62 0,53 0,44 0,47 0,73 0,61 0,45 Aparentemente, a matriz é positiva. Portanto, o método NM é definido. A resolução de cada um dos 9 problemas da forma 2 por 2 resulta em 9 entradas da matriz. As suas outras 7 entradas são determinadas exclusivamente pelos totais da linha de destino e totais da coluna. A solução para é: 1 2 3 4 TOTAL 1 253.1 91,4 40,5 15.1 400 2 91.1 147.1 39,8 21.9 300 3 39,6 36,8 64.2 9.3 150 4 16.2 24,7 55,5 53,6 150 TOTAL 400 300 200 100 1.000
Outro exemplo numérico retirado de Abbott et al. (2019) Considere a seguinte complementado com seus totais de linhas e totais de colunas e os alvos, ou seja, os e : Z 1 2 3 TOTAL ALVO 1 1.360 2 5.840 3 2.800 TOTAL 1.390 5.670 2.940 10.000 ALVO 10.000 Como uma primeira etapa do método NM, a é multiplicada pelas matrizes , e para cada par ( , e ). Esta operação resulta nas seguintes 4 matrizes de dimensão 2 por 2 com seus totais de linha de destino e totais de coluna: ++ 1 2 TOTAL ALVO 1 1.070 290 1.360 1.600 2 320 8.320 8.640 8.400 TOTAL 1.390 8.610 10.000 ALVO 1.390 8.610 10.000 + 1 2 TOTAL ALVO 1 1.340 20 1.360 1.600 2 5.720 2.920 8.640 8.400 TOTAL 7.060 2.940 10.000 ALVO 7.060 2.940 10.000 1 2 TOTAL ALVO 1 1.370 5.830 7.200 7.500 2 20 2.780 2.800 2.500 TOTAL 1.390 8.610 10.000 ALVO 1.390 8.610 10.000 1 2 TOTAL ALVO 1 6.620 580 7.200 7.500 2 440 2.360 2.800 2.500 TOTAL 7.060 2.940 10.000 ALVO 7.060 2.940 10.000 O próximo passo consiste em calcular o índice Liu-Lu com valor de matriz generalizada , (onde ), aplicando para tal a fórmula do índice Liu-Lu de valor escalar original a cada uma das 4 matrizes: 0,75 0,95 0,95 0,78 Aparentemente, a matriz é positiva. Portanto, o método NM é definido. Resolver cada um dos 4 problemas da forma 2 por 2 produz 4 entradas da matriz. As restantes 5 entradas são determinadas exclusivamente pelos totais da linha de destino e totais da coluna. A solução para é: 1 2 3 TOTAL 1 1.101 476 24 1.600 2 271 4.819 809 5.900 3 18 375 2.107 2.500 TOTAL 1.390 5.670 2.940 10.000
Implementação O método NM é implementado em Excel, Visual Basic, R, e também em Stata .
Aplicações O método NM pode ser aplicado para estudar vários fenômenos, incluindo assortative mating, mobilidade intergeracional como um tipo de mobilidade social, segregação, recrutamento e gestão de talentos .
Em todas as aplicações, as matrizes , , e representam distribuições conjuntas de entidades combinadas um-para-um (por exemplo, maridos e esposas, ou primogênitos e mães, ou residências e inquilinos principais, ou CEOs e empresas, ou instrutores de xadrez e seus alunos mais talentosos) caracterizados por uma variável categórica dicotômica (por exemplo, assumindo valores vegetarianos/não vegetarianos, Mestre/ou não) ou uma variável categórica multinomial ordenada (por exemplo, nível de escolaridade final, nível de habilidade dos esquiadores, intervalo de renda, categoria de taxa de aluguer, classificação de crédito, títulos FIDE) . Embora o método NM tenha uma ampla aplicabilidade, todos os exemplos a serem apresentados a seguir são sobre assortative mating ao longo do nível de escolaridade. Nessas aplicações, as duas pré-condições (da variável de característica ordenada e assortative mating positivo em todos os grupos educacionais) não são alvo de analise, assumindo que se verificam.
Suponha-se que a matriz caracteriza a distribuição educacional conjunta de maridos e esposas no Zimbábue, enquanto que a matriz caracteriza o mesmo no Iêmen. A matriz , construída com o método NM diz-nos qual seria a distribuição educacional conjunta de casais no Zimbábue, se as distribuições educacionais de maridos e esposas fossem as mesmas do Iêmen, enquanto o desejo geral de homogamia (também chamado de preferências conjugais agregadas em economia, ou harmonização conjugal de normas sociais /barreiras sociais em sociologia) permaneceram inalterados.
Numa segunda aplicação, as matrizes e caracterizam o mesmo país em dois periodos diferentes. A matriz é a distribuição educacional conjunta de recém-casados americanos em 2040, onde os maridos são da Geração Z e sendo jovens adultos quando observados. A matriz é o mesmo, mas para a Geração Y observada no ano de 2024. Ao construir a matriz , pode-se estudar no futuro qual seria a distribuição educacional entre os jovens casais americanos recém-casados se eles se ordenassem da mesma forma que os homens da Geração Z e as suas parceiras, enquanto o nível de educação fosse o mesmo entre os homens na Geração Y e suas parceiras.
Numa terceira aplicação, as matrizes e caracterizam novamente o mesmo país em dois peridos diferentes. Nesta aplicação, a matriz é a distribuição educativa conjunta dos jovens casais portugueses (em que a idade dos parceiros masculinos se situa entre os 30 e os 34 anos) em 2011. A matriz representa o mesmo, mas é observada no ano de 1981. O objetivo seria construir uma matriz a fim de estudar qual teria sido a distribuição educacional dos jovens casais portugueses se eles tivessem casado como seus pares em 2011, enquanto suas distribuições educacionais específicas por gênero fossem as mesmas de 1981.