În matematică, un element sau un membru al unei mulțimi este unul dintre obiectele distincte care alcătuiesc acea mulțime. Se spune că elementul aparține mulțimii, iar relația între element și mulțime este o relație de apartenență.

Mulțimi Scrierea înseamnă că elementele mulțimii sunt numerele 1, 2, 3 și 4. Mulțimile de elemente ale lui , de exemplu , sunt submulțimi ale lui .

Mulțimile pot fi ele însele elemente. De exemplu, considerăm mulțimea . Elementele lui nu sunt 1, 2, 3 și 4; are doar 3 elemente, și anume numerele 1 și 2, și mulțimea .

Elementele unei mulțimi pot fi orice. De exemplu, , este mulțimea ale cărei elemente sunt culorile , și .

Notație și terminologie dreapta|miniatura| Prima utilizare a simbolului ∈ în lucrarea de Giuseppe Peano. de apartenență este notată cu simbolul „”. Scrierea

înseamnă că este un element al lui . Expresii echivalente sunt „ este un membru al lui ”, „ aparține lui ”, „ este în ” și „ se găsește în ”. Expresiile „ include ” și „ conține ” sunt de asemenea folosite pentru a însemna stabilirea apartenenței la mulțime, însă unii autori le folosesc cu sensul de „ este o submulțime a lui ”. Logicianul a cerut cu tărie ca „conține” să fie folosit doar pentru apartenență și „include” numai pentru relația de submulțime.

Pentru relația ∈, se poate scrie ∈T

adică „ conține ”.

Negația apartenenței la mulțime este marcată cu simbolul „∉”. Scrierea

înseamnă că „ nu este un element al lui ”.

Simbolul ∈ a fost folosit pentru prima oară de Giuseppe Peano în lucrarea sa din 1889 . Acolo, pe pagina X scria: adică Simbolul ∈ înseamnă „este”. Deci, a ∈ b se citește a este un b; ... Simbolul în sine este un epsilon ("ε") grecesc mic stilizat, prima literă a cuvântului æστί, care înseamnă „este”. Caracter∈∉∋∌Nume UnicodeELEMENT OFNOT AN ELEMENT OFCONTAINS AS MEMBERDOES NOT CONTAIN AS MEMBERCodificărizecimalhexzecimalhexzecimalhexzecimalhexUnicode8712U+22088713U+22098715U+220B8716U+220C226 136 136E2 88 88226 136 137E2 88 89226 136 139E2 88 8B226 136 140E2 88 8C∈∈∉∉∋∋∌∌∈∉∋LaTeX\in\notin\ni\not\ni\[Element]\[NotElement]\[ReverseElement]\[NotReverseElement]

Complement și inversare Orice relație este supusă la două involuții: complementarea și inversarea . Relația ∈ are ca domeniu mulțimea universală și drept codomeniu . Relația complementară exprimă opusul lui ∈. Un element poate avea , caz în care , complementul lui față de .

Relația schimbă între ele domeniul și codomeniul lui ∈. Pentru orice din este adevărat atunci când .

Cardinalul mulțimii Numărul elementelor dintr-o anumită mulțime este o proprietate cunoscută sub numele de ; informal, aceasta este dimensiunea unei mulțimi. În exemplele de mai sus, cardinalul mulțimii este 4, în timp ce cardinalul fiecăreia dintre mulțimile și este 3. O mulțime infinită este o mulțime cu un număr infinit de elemente, în timp ce o mulțime finită este o mulțime cu un număr finit de elemente. Exemplele de mai sus sunt exemple de mulțimi finite. Un exemplu de mulțime infinită este mulțimea numerelor întregi pozitive, .

Exemple Folosind mulțimile definite mai sus, și anume , și

este membru al lui Galben Cardinalul lui D   =   {2,   4,   8,   10,   12} este finit și egal cu 5. Cardinalul lui P   =   {2,   3,   5,   7,   11,   13,   ...} ( numerele prime) este infinit (fapt demonstrat de Euclid).

Note bibliografice

Lectură suplimentară

- „Naivă” înseamnă incomplet axiomatizată, nu „ușoară” sau „cu neștiință” (abordarea lui Halmos nu este niciuna dintre cele două).

- Atât noțiunea de mulțime (colecție de membri), apartenența, axioma extensiei, axioma separării, și axioma reuniunii (Suppes o numește „axioma sumei”) sunt necesare pentru o înțelegere riguroasă a noțiunii de „element al mulțimii”.

Legături externe

Categorie:Teoria mulțimilor