Teoria reprezentării este o ramură a matematicii care studiază structurile algebrice abstracte reprezentând elementele acestora sub forma unor transformări liniare de spații vectoriale și studiază peste aceste structuri algebrice abstracte.Texte clasice de teoria reprezentării sunt și . Alte surse excelente sunt și . În esență, o reprezentare face un obiect algebric abstract mai concret prin descrierea elementelor sale prin matrici și prin operații algebrice în termeni de adunări și înmulțiri de matrice. Printre obiectele algebrice care fac obiectul unei astfel de descrieri se numără grupuri, și . Cea mai proeminentă dintre ele (și istoric prima) este teoria reprezentării grupurilor, în care elementele unui grup sunt reprezentate prin matrice inversabile astfel încât operația grupului este o înmulțire matriceală.Pentru istoria teoriei reprezentării grupurilor finite, vezi . Pentru grupuri algebrice și Lie, vezi .

Teoria reprezentării este o metodă utilă deoarece reduce problemele din algebra abstractă la probleme de algebră liniară, un subiect mai bine înțeles.Există multe cărți despre spații vectoriale și algebră liniară. Pentru o tratare avansată, vezi . În plus, spațiul vectorial pe care este reprezentat un grup (de exemplu) poate fi infinit-dimensional și, permițându-i-se să fie, de exemplu, un spațiu Hilbert, metodele de analiză pot fi aplicate teoriei grupurilor.. Teoria reprezentării este importantă și în fizică, deoarece, de exemplu, ea descrie modul în care grupul de simetrie al unui sistem fizic afectează soluțiile ecuațiilor care descriu acest sistem..

Teoria reprezentării este larg răspândită în domeniile matematicii, din două motive. În primul rând, aplicațiile teoriei reprezentării sunt diverse: . pe lângă impactul său asupra algebrei, teoria reprezentării:

iluminează și generalizează prin analiză armonică,. este conectată la geometrie prin si prin ,, , . are impact asupra teoriei numerelor prin și prin ., .

În al doilea rând, există diverse abordări ale teoriei reprezentării. Aceleași obiecte pot fi studiate folosind metode din geometria algebrică, , teoria analitică a numerelor, geometria diferențială, , și topologie.Vezi notele de subsol anterioare, precum și .

Succesul teoriei reprezentării a dus la numeroase generalizări. Unul dintre cele mai generale este în teoria categoriilor.. Obiectele algebrice la care se aplică teoria reprezentării pot fi privite ca anumite tipuri de categorii, iar reprezentările ca functori de la categoria obiect la . Această descriere indică două generalizări evidente: în primul rând, obiectele algebrice pot fi înlocuite cu mai multe categorii generale; în al doilea rând, categoria țintă a spațiilor vectoriale poate fi înlocuită de alte categorii bine înțelese.

Note

Bibliografie

. . . . . . . . . .

.

. . . . . . . Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Traducere în engleză din ediția 1985 în rusă (Harkov, URSS). Birkhäuser Verlag. 1988. ; (2nd ed.); (ed. a treia) . . . . . . . .

. . .

Reprezentării, teoria