thumb|Dodecaedrul rombic cu configurația feței În matematică, un poliedru Catalan, sau dual arhimedic, este un poliedru dual al unui poliedru arhimedic. Există 13 poliedre Catalan. Acestea sunt numite după matematicianul belgian Eugène Catalan care le-a descris pentru prima dată în 1865.
Poliedrele Catalan sunt toate convexe. Ele sunt tranzitive pe fețe, dar nu sunt tranzitive pe vârfuri. Asta datorită faptului că dualele poliedrelor arhimedice sunt tranzitive pe vârfuri, dar nu și pe fețe. Spre deosebire de poliedrele platonice și cele arhimedice, fețele poliedrelor Catalan nu sunt poligoane regulate. Totuși, figurile vârfurilor poliedrelor Catalan sunt regulate și au unghiuri diedre constante. Fiind tranzitive pe fețe, poliedrele Catalan sunt izoedre.
În plus, două dintre poliedrele Catalan, dodecaedrul rombic și triacontaedrul rombic, sunt tranzitive pe muchii. Acestea sunt dualele a două poliedre arhimedice cvasiregulate.
Așa cum prismele și antiprismele nu sunt considerate poliedre arhimedice, la fel bipiramidele și trapezoedrele, în ciuda faptului că sunt tranzitive pe fețe, nu sunt considerate poliedre Catalan.
Două dintre poliedrele Catalan, icositetraedrul pentagonal și hexacontaedrul pentagonal, sunt chirale, duale la chiralele cub snub și dodecaedru snub. Acestea vin fiecare în două forme enantiomorfe. Fără a lua în considerare enantiomorfele, bipiramidele și trapezoedrele, există în total 13 poliedre Catalan.
Poliedru arhimedicPoliedru Catalan1tetraedru trunchiattetraedru triakis2cub trunchiatoctaedru triakis3cuboctaedru trunchiatdodecaedru disdiakis4octaedru trunchiathexaedru tetrakis5dodecaedru trunchiaticosaedru triakis6icosidodecaedru trunchiattriacontaedru disdiakis7icosaedru trunchiatdodecaedru pentakis8cuboctaedrudodecaedru rombic9icosidodecaedrutriacontaedru rombic10rombicuboctaedruicositetraedru romboidal11rombicosidodecaedruhexacontaedru romboidal12cub snubicositetraedru pentagonal13dodecaedru snubhexacontaedru pentagonal
Simetrie Poliedrele Catalan, împreună cu dualele lor, poliedrele arhimedice, pot fi grupate în simetriile tetraedrică, octaedrică și icosaedrică. Atât pentru simetria octaedrică, cât și pentru cea icosaedrică există șase forme. Singurul poliedru Catalan cu o simetrie tetraedrică autentică este tetraedrul triakis (dual al tetraedrului trunchiat). Dodecaedrul rombic și hexaedrul tetrakis au simetrie octaedrică, dar pot fi colorate pentru a avea doar simetrie tetraedrică. De asemenea, există variante rectificate și snub cu simetrie tetraedrică, dar acestea sunt poliedre platonice în loc să fie arhimedice, deci dualele lor sunt platonice în loc de Catalan. (Sunt afișate cu fundal maro în tabelul de mai jos.)
+ Simetrie tetraedricăarhimedic(platonic)100px100px100px100px100px100pxCatalan(platonic)100px100px100px100px100px99px
+ Simetrie octaedricăarhimedic100px100px100px100px100px100pxCatalan100px100px100px100px100px100px
+ Simetrie icosaedricăArhimedic100px100px100px100px100px100pxCatalan100px100px100px100px100px100px
Lista poliedrelor Catalan Nume(Nume dual)Simbol Conway Imagini Scheletortogonal Poligonulfeței Unghiurilefeței(°) Unghidiedric(°) FețeMuchiiVârfuri Sim. tetraedru triakis(tetraedru trunchiat)"kT" 70px|tetraedru triakis70px|Triakis tetraedru triunghi isoscelV3.6.6 112.88533.55733.557 129.521 12 18 8 Td dodecaedru rombic(cuboctaedru)"jC" 70px|dodecaedru rombic70px|dodecaedru rombic rombV3.4.3.4 70.529109.47170.529109.471 120 12 24 14 Oh octaedru triakis(cub trunchiat)"kO" 70px|octaedru triakis70px|octaedru triakis triunghi isoscelV3.8.8 117.20131.40031.400 147.350 24 36 14 Oh hexaedru tetrakis(octaedru trunchiat)"kC" 70px|hexaedru tetrakis70px| hexaedru tetrakis triunghi isoscelV4.6.6 83.62148.19048.190 143.130 24 36 14 Oh icositetraedru romboidal(rombicuboctaedru)"oC" 70px|icositetraedru romboidal70px|icositetraedru romboidal romboidV3.4.4.4 81.57981.57981.579115.263 138.118 24 48 26 Oh dodecaedru disdiakis(cuboctaedru trunchiat)"mC" 70px|dodecaedru disdiakis70px|dodecaedru disdiakis triunghi scalenV4.6.8 87.20255.02537.773 155.082 48 72 26 Oh icositetraedru pentagonal(cub snub)"gC" 70px|icositetraedru pentagonal70px|icositetraedru pentagonal (Ccw) pentagonV3.3.3.3.4 114.812114.812114.812114.81280.752 136.309 24 60 38 O triacontaedru rombic(icosidodecaedru)"jD" 70px|triacontaedru rombic70px|triacontaedru rombic rombV3.5.3.5 63.435116.56563.435116.565 144 30 60 32 Ih icosaedru triakis(dodecaedru trunchiat)"kI" 70px|icosaedru triakis70px|icosaedru triakis triunghi isoscelV3.10.10 119.03930.48030.480 160.613 60 90 32 Ih dodecaedru pentakis(icosaedru trunchiat)"kD" 70px|dodecaedru pentakis70px|dodecaedru pentakis triunghi isoscelV5.6.6 68.61955.69155.691 156.719 60 90 32 Ih hexacontaedru romboidal(rhombicosidodecaedru)"oD" 70px|hexacontaedru romboidal romboidV3.4.5.4 86.97467.78386.974118.269 154.121 60 120 62 Ih triacontaedru disdiakis(icosidodecaedru trunchiat)"mD" 70px|triacontahedron disdiakis70px|triacontaedru disdiakis triunghi scalenV4.6.10 88.99258.23832.770 164.888 120 180 62 Ih hexacontaedru pentagonal(dodecaedru snub)"gD" 70px|hexacontaedru pentagonal70px|hexacontahedron pentagonal (Ccw) pentagonV3.3.3.3.5 118.137118.137118.137118.13767.454 153.179 60 150 92 I
Geometrie Toate unghiurile diedre ale unui poliedru Catalan sunt egale. Notând valoarea lor cu , și notând unghiurile celor fețe care se întâlnesc într-un vârf cu , există relația . care poate fi folosită pentru a calcula și , , ... doar din , ... etc.
Fețe triunghiulare Dintre cele 13 poliedre Catalan, 7 au fețe triunghiulare. Acestea sunt de forma Vp.q.r, unde p, q și r au valori între 3, 4, 5, 6, 8 și 10. Unghiurile , și se pot calcula în modul următor. Fie , , și fie . Atunci , .
Pentru și expresiile sunt, bineînțeles, similare. Unghiul diedru poate fi calculat din . De exemplu, pentru triacontaedrul disdiakis (, și , rezultă , și , unde este secțiunea de aur) se obține și .
Fețe patrulatere Dintre cele 13 poliedre Catalan, 4 au fețe patrulatere. Acestea sunt de forma Vp.q.p.r, unde p, q și r au valori între 3, 4 și 5. Unghiurile se pot calcula cu relația . Din aceasta, , și unghiul diedru pot fi calculate ușor. Alternativ, fie , și . Atunci și pot fi calculate din relațiile pentru cazul triunghiular. Unghiul poate fi calculat similar. Fețele sunt romboidale, sau, dacă , romburi. De exemplu, pentru icositetraedrul romboidal (, și ) se obține .
Fețe pentagonale Dintre cele 13 poliedre Catalan, 2 au fețe pentagonale. Acestea sunt de forma Vp.p.p.p.q, unde p=3 și q= 4 sau 5. Unghiurile pot fi calculate din ecuația de gradul trei .
Proprietăți metrice Pentru un poliedru Catalan , fie dualul față de sfera mediană a . Atunci este un poliedru arhimedic având aceeași sferă mediană. Se notează lungimea muchiilor lui cu . Fie raza cercului înscris în fețele lui , raza mediană a lui și , raza cercului înscris în fețele lui și raza cercului circumscris fețelor lui . Aceste mărimi pot fi exprimate în funcție de și unghiul diedric prin relațiile: ,
,
,
.
Între aceste mărimi există relațiile , și .
De exemplu, fie un cuboctaedru cu laturile . Atunci este un dodecaedru rombic. Cu relațiile pentru fețe patrulatere și se obține , rezultă , , , .
Toate vârfurile lui de tip se află pe o sferă cu raza dată de , și similar pentru .
Dual, există o sferă tangentă în centrele tuturor fețelor lui care sunt poligoane regulate cu laturi (și similar pentru ). Raza acestei sfere este dată de .
Între aceste două raze există relația . Continuând exemplul: și , care dă , , și .
Dacă este un vârf de tip al lui , este o muchie a lui care pornește din , și punctul unde muchia atinge sfera mediană a lui , se notează distanța cu . Atunci muchiile lui care unesc vârfurile de tip și au lungimile . Aceste valori pot fi calculate din , și similar pentru . Continuând exemplul: , , , , deci muchiile dodecaedrului rombic au lungimea .
Unghiurile diedre între fețele -gonale și -gonale ale lui satisfac relația .
În finalul exemplului, unghiul diedru al cuboctaedrului este dat de .
Aplicarea la alte poliedre Toate formulele din această secțiune se aplică poliedrelor platonice, bipiramidelor și trapezoedrelor cu unghiuri diedre egale, de asemenea, deoarece ele pot fi deduse din proprietatea unghiului diedru constant. De exemplu, pentru trapezoedrul pentagonal cu fețele V3.3.5.3, se obține , sau . Acest lucru nu este surprinzător: este posibil să fie tăiate ambele vârfuri în așa fel încât să se obțină un dodecaedru regulat.
Note
Bibliografie Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865 Alan Holden, Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals) Robert Williams, (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications, Inc. , (Section 3–9) Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms
Vezi și Poliedru arhimedic Poliedru Johnson
Legături externe
Catalan Solids – la Visual Polyhedra Archimedean duals – at Virtual Reality Polyhedra Două legături pentru descărcarea lucrării originale a lui catalan din 1865 (format PDF)