În un F-spațiu este un spațiu vectorial V pe mulțimea numerelor reale sau complexe împreună cu o metrică astfel încât Înmulțirea scalară în V este continuă în raport cu d și cu metrica standard pe ℝ sau ℂ. Adunarea în V este continuă în raport cu d. Metrica este invariantă la translație, adică pentru orice x, y și a din V. Spațiul metric este complet.
Operația x ↦ ||x|| := d(0,x) este numită F-normă, deși în general nu este necesară o F-normă pentru a fi completă. Prin translație-invarianță, metrica este recuperabilă din F-normă. Astfel, un F-spațiu real sau complex este echivalent un spațiu vectorial real sau complex dotat cu o F-normă completă.
Unii autori folosesc termenul în loc de F-spațiu, dar de obicei termenul „spațiu Fréchet” este rezervat F-spațiilor . Alți autori folosesc termenul F-spațiu ca sinonim al spațiului Fréchet prin care ei înțeleg un convex local complet . Metrica poate fi sau nu neapărat parte a structurii unui F-spațiu; mulți autori cer doar ca un astfel de spațiu să fie metrizabil într-un mod care să satisfacă proprietățile de mai sus.
Exemple Toate spațiile Banach și Fréchet sunt F-spații. În particular, un spațiu Banach este un F-spațiu cu o cerință suplimentară, . Dunford N., Schwartz J.T. (1958). Linear operators. Part I: general theory. Interscience publishers, inc., New York. p. 59
Spațiile Lp pot fi transformate în F-spații pentru orice iar pentru ele pot fi transformate în convexe local, în spații Fréchet și chiar spații Banach.
Exemplul 1 este un F-spațiu. Nu admite seminorme continue și nici funcționale liniare continue — are trivial.
Exemplul 2 Fie spațiul valorilor complexe ale seriilor Taylor
pe discul unitate astfel încât
atunci (pentru ) sunt F-spații cu p-norma:
De fapt, este o . Mai mult, pentru orice cu aplicația este o transformare liniară mărginită (funcțională multiplicativă) pe .
Condiții suficiente Teorema Klee: Fie oriceNu se presupune că este invariantă la translație. metrică pe un spațiu vectorial astfel încât topologia indusă de pe transformă într-un spațiu vectorial topologic. Dacă este in spațiu metric complet, atunci este un spațiu vectorial topologic complet.
Proprietăți conexe O transformare liniară aproape continuă într-un F-spațiu F al cărui grafic este închis este continuă. O transformare liniară aproape deschisă într-un F-spațiu al cărui grafic este închis este neapărat o . O transformare liniară continuă aproape deschisă dintr-un F-spațiu este neapărat o aplicație deschisă. O transformare liniară continuă aproape deschisă'' dintr-un F-spațiu a cărei imagine în codomeniu este din Ion Colțescu, Gheorghe Dogaru, Analiză matematică, calcul diferențial , Constanța: Ed. Academiei Navale „Mircea cel Bătrân”, 2012, p. 53 este în mod necesar o aplicație deschisă surjectivă.
Note explicative
Note
Bibliografie
Categorie:Analiză funcțională