În geometrie notația orbifold (sau semnătura orbifold) este un sistem inventat de matematicianul William Thurston și promovat de John Conway pentru reprezentarea tipurilor de grupuri de simetrie în spații bidimensionale de curbură constantă. Avantajul notației este că descrie aceste grupuri într-un mod care indică multe dintre proprietățile grupurilor: în special, urmează metoda lui William Thurston pentru descrierea unui obținut prin aplicarea topologică a spațiului euclidian pe grupul luat în considerare.
Grupurile reprezentabile în această notație cuprind de pe sferă (), grupurile de friză și ale planului euclidian () și analogii lor din planul hiperbolic ().
Definiția notației Într-un grup descris prin notația orbifold pot apărea următoarele tipuri de transformări euclidiene: reflexia față de o dreaptă (sau un plan); translația cu un vector; rotația de ordin finit față de un punct; rotația infinită față de o dreaptă în spațiul tridimensional; reflexia translată, adică reflexia urmată de o translație.
Se presupune că toate translațiile care au loc formează un subgrup discret al simetriilor de grup care sunt descrise.
Fiecare grup este notat în notația orbifold printr-un șir finit format din următoarele simboluri: numere întregi pozitive ; simbolul infinitului, ; asteriscul, * ; simbolul o (un cerc plin în documentele mai vechi), numit și toartă deoarece topologic reprezintă o suprafață închisă în formă de tor (topologic echivalent cu o toartă) — unde modelele se repetă în urma a două translații; simbolul (un cerc gol în documentele mai vechi), unde un model se repetă ca imagine în oglindă fără a traversa o dreaptă de oglindire.
Un șir scris cu aldine (litere „negre”) reprezintă un grup de simetrii ale spațiului tridimensional euclidian. Un șir care nu este scris cu caractere aldine reprezintă un grup de simetrii ale planului euclidian, care se presupune că conține două translații independente.
Fiecare simbol corespunde unei transformări distincte: un număr întreg n la stânga unui asterisc indică o rotație de ordinul n în jurul unui punct; un număr întreg n la dreapta unui asterisc indică o transformare de ordinul 2n care se rotește în jurul unui punct caleidoscopic și se reflectă față de o dreaptă (sau plan); simbolul indică o reflexie translată; simbolul indică o simetrie de rotație infinită în jurul unei drepte; poate apărea numai la grupurile notate cu aldine (prin abuz de limbaj, s-ar putea spune că un astfel de grup este un subgrup de simetrii ale planului euclidian cu o singură translație independentă — grupurile de frize apar în acest fel); simbolul excepțional o indică faptul că există exact două translații liniar independente.
Simboluri orbifold bune Despre un simbol orbifold se spune că e bun dacă nu este unul dintre următoarele: p, pq, *p, *pq, pentru p, q ≥ 2 și p ≠ q.
Chirale și achirale Un obiect este chiral dacă grupul său de simetrie nu conține reflexii; altfel se numește achiral. Orbifoldul corespunzător este orientabil în cazul chiral și neorientabil în caz contrar.
Caracteristica Euler și ordinul Caracteristica Euler a unui orbifold poate fi citită din simbolul său Conway, după cum urmează. Fiecare semn are o valoare: n fără sau înainte de un asterisc contează drept ; n după un asterisc contează drept ; asteriscul și contează drept 1; o contează drept 2. Se face suma valorilor acestor caracteristici.
Caracteristica Euler se obține scăzând din 2 suma valorilor caracteristicilor de mai sus. Dacă această sumă este 2, ordinul este infinit, adică notația reprezintă un grup de tapet sau un grup de friză. „Teorema magică” a lui Conway indică faptul că cele 17 grupuri de tapet sunt exact acelea cu suma valorilor caracteristicilor egală cu 2. În caz contrar, ordinul este 2 împărțit la caracteristica Euler.
Grupuri egale Următoarele grupuri sunt izomorfe: 1* și *11 22 și 221 *22 și *221 2* și 2*1. Acest lucru se datorează faptului că rotația „de 1 ori” este rotația „vidă” (poziția inițială).
Grupuri bidimensionale
Simetria unui obiect bidimensional fără simetrie de translație poate fi descrisă prin tipul de simetrie tridimensională prin adăugarea unei a treia dimensiuni la obiect care nu adaugă sau nu strica simetria. De exemplu, pentru o imagine bidimensională se poate considera o cutie de carton cu acea imagine afișată pe o parte; forma cutiei trebuie să fie astfel încât să nu strice simetria sau poate fi imaginată a fi infinită. Astfel se obține n• și *n•. • se adaugă la grupurile unidimensionale și bidimensionale pentru a indica existența unui punct fix. (În tridimensional aceste grupuri există într-un orbifold digonal cu n poziții și sunt reprezentate drept nn și *nn.)
Similar, o imagine unidimensională poate fi desenată orizontal pe o bucată de carton, cu grija de a evita simetria suplimentară în raport cu dreapta care conține imaginea, de exemplu prin desenarea unei bare orizontale sub imagine. Astfel, grupurile de simetrie discretă în spațiul unidimensional sunt *•, *1•, ∞• și *∞•.
O altă metodă de a construi un obiect tridimensional dintr-un obiect unidimensional sau bidimensional pentru a descrie simetria este prin produsul cartezian dintre obiect și un obiect unidimensional sau bidimensional asimetric.
Tabele de corespondențe Sferică + (*11),C1v = Cs (*22),C2v (*33),C3v (*44),C4v (*55),C5v (*66),C6v 60pxOrdin 2 60pxOrdin 4 60pxOrdin 6 60pxOrdin 8 60pxOrdin 10 60pxOrdin 12 (*221),D1h = C2v (*222),D2h (*223),D3h (*224),D4h (*225),D5h (*226),D6h 60pxOrdin 4 60pxOrdin 8 60pxOrdin 12 60pxOrdin 16 60pxOrdin 20 60pxOrdin 24 (*332), Td (*432), Oh (*532), Ih 120pxOrdin 24 120pxOrdin 48 120pxOrdin 120 + Grupuri de simetrie sferică Symmetries of Things, Appendix A, page 416 Orbifold Coxeter Schönflies Herm.–Maug. OrdinGrupuri poliedrice*532[3,5]Ih53m120532[3,5]+I53260*432[3,4]Ohm3m48432[3,4]+O43224*332[3,3]Td3m243*2[3+,4]Thm324332[3,3]+T2312Grupuri diedrale și ciclice: n = 3, 4, 5 ...*22n[2,n]Dnhn/mmm sau 2m24n2*n[2+,2n]Dnd22m sau m4n22n[2,n]+Dnn22n*nn[n]Cnvnm2nn*[n+,2]Cnhn/m sau 22nn×[2+,2n+]S2n2 sau 2nnn[n]+CnnnCazuri particulare*222[2,2]D2h2/mmm sau 2m282*2[2+,4]D2d22m sau m8222[2,2]+D2224*22C2v2m42*[2+,2]C2h2/m sau 242×[2+,4+]S42 sau 422+C222*22[1,2]D1h = C2v1/mmm sau 2m242*[2+,2]D1d = C2h22m sau m422[1,2]+D1 = C2122*1[ ]C1v = Cs1m21*[2,1+]C1h = Cs1/m sau 221×[2+,2+]S2 = Ci2 sau 21[ ]+C111
Planul euclidian Grupuri de friză
Grupuri de tapet + Domeniile fundamentale ale grupurilor de reflexie euclidiene(*442), p4m(4*2), p4g150px150px(*333), p3m(632), p6150px150px
+ 17 grupuri de tapet Symmetries of Things, Appendix A, page 416 Orbifold Coxeter HermannMauguin SpeiserNiggli PolyaGuggenhein Fejes TothCadwell*632[6,3]p6mC(I)6vD6W16632[6,3]+p6C(I)6C6W6*442[4,4]p4mC(I)4D*4W144*2[4+,4]p4gCII4vDo4W24442[4,4]+p4C(I)4C4W4*333[3]p3m1CII3vD*3W133*3[3+,6]p31mCI3vDo3W23333[3]+p3CI3C3W3*2222[∞,2,∞]pmmCI2vD2kkkkW222*22[∞,2+,∞]cmmCIV2vD2kgkgW1222*[(∞,2)+,∞]pmgCIII2vD2kkggW3222×[∞+,2+,∞+]pggCII2vD2ggggW422222[∞,2,∞]+p2C(I)2C2W2**[∞+,2,∞]pmCIsD1kkW21*×[∞+,2+,∞]cmCIIIsD1kgW11××[∞+,(2,∞)+]pgCII2D1ggW31o[∞+,2,∞+]p1C(I)1C1W1
Planul hiperbolic + Modelul discului Poincaré al domeniului fundamental al Exemple cu triunghiuri dreptunghice (*2pq)60px*23760px*23860px*23960px*23∞60px*24560px*24660px*24760px*24860px*∞4260px*25560px*25660px*25760px*26660px*2∞∞ Exemple cu triunghiuri oarecare (*pqr)60px*33460px*33560px*33660px*33760px*33∞60px*34460px*36660px*3∞∞60px*6360px*∞3 Example cu poligoane superioare (*pqrs...)60px*222360px*(23)260px*(24)260px*3460px*4460px*2560px*2660px*2760px*2860px*222∞60px*(2∞)260px*∞460px*2∞60px*∞∞
Primele câteva grupuri hiperbolice, ordonate după caracteristica lor Euler sunt: + Grupuri cu simetrie hiperbolică Symmetries of Things, Chapter 18, More on Hyperbolic groups, Enumerating hyperbolic groups, p239 −1/χ Orbifold Coxeter84*237[7,3]48*238[8,3]42237[7,3]+40*245[5,4]36–26.4*239, *2 3 10[9,3], [10,3]26.4*2 3 11[11,3]24*2 3 12, *246, *334, 3*4, 238[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3+,8], [8,3]+22.3–21*2 3 13, *2 3 14[13,3], [14,3]20*2 3 15, *255, 5*2, 245[15,3], [5,5], [5+,4], [5,4]+19.2*2 3 16[16,3]*247[7,4]18*2 3 18, 239[18,3], [9,3]+17.5–16.2*2 3 19, *2 3 20, *2 3 21, *2 3 22, *2 3 23 [19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]16*2 3 24, *248[24,3], [8,4]15*2 3 30, *256, *335, 3*5, 2 3 10[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3+,10], [10,3]+–*2 3 36 ... *2 3 70, *249, *2 4 10[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]*2 3 66, 2 3 11[66,3], [11,3]+*2 3 105, *257[105,3], [7,5]*2 3 132, *2 4 11 ... [132,3], [11,4], ...12*23∞, *2 4 12, *266, 6*2, *336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2 3 12, 246, 334[∞,3] [12,4], [6,6], [6+,4], [(6,3,3)], [3+,12], [(4,4,3)], [4+,6], [∞,3,∞], [12,3]+, [6,4]+ [(4,3,3)]+...
Note
Bibliografie John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson, and William P. Thurston. On Three-dimensional Orbifolds and Space Groups. Contributions to Algebra and Geometry, 42(2):475-507, 2001. J. H. Conway, D. H. Huson. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups. Structural Chemistry, 13 (3-4): 247–257, August 2002. J. H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447 John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008,
Legături externe A field guide to the orbifolds (Notes from class on "Geometry and the Imagination" in Minneapolis, with John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman and Bill Thurston, on June 17–28, 1991. See also PDF, 2006) Tegula Software for visualizing two-dimensional tilings of the plane, sphere and hyperbolic plane, and editing their symmetry groups in orbifold notation
Categorie:Notații matematice Categorie:Teoria grupurilor Categorie:Simetrie Categorie:Poliedre