În geometrie o pseudosferă este o suprafață cu negativă constantă.

O pseudosferă cu raza este o suprafață în având curbura în fiecare punct. Numele său provine din analogia cu sfera de rază , care este o suprafață cu curbura . Termenul a fost introdus de Eugenio Beltrami în lucrarea sa din 1868 despre modelele de geometrie hiperbolică. (Sau și în , sau în )

Tractricoid right|frame|Tractricoid Aceeași suprafață poate fi descrisă ca rezultat al rotației unei în jurul asimptotei sale. Din acest motiv pseudosfera se mai numește și tractricoid. De exemplu, jumătate de pseudosferă (cu raza 1) este suprafața de revoluție a tractricei parametrizată de , Chapter 5, page 108

Este un spațiu singular (ecuatorul este o singularitate), dar, spre deosebire de singularități, are curbura gaussiană negativă constantă și, prin urmare, este local izometric cu planul hiperbolic.

Denumirea de „pseudosferă” vine de la faptul că este o suprafață bidimensională cu curbura gaussiană negativă constantă, la fel cum o sferă este o suprafață cu curbură gaussiană pozitivă constantă. Așa cum sfera are în fiecare punct geometria curbă a unui dom, pseudosfera are în fiecare punct geometria curbă a unei șei.

Încă din 1693 Christiaan Huygens a descoperit că aria suprafeței pseudosferei și volumul delimitat de ea sunt finite, , extract of page 345 chiar dacă forma se extinde la infinit de-a lungul axei de rotație. Pentru o rază dată a ecuatorului, aria este la fel ca pentru sferă, în timp ce volumul este , adică jumătate din aceea a unei sfere cu aceeași rază. , Chapter 40, page 154

Spatiul de acoperire universal thumb|upright=1.8|Pseudosfera și relația ei cu alte trei modele de geometrie hiperbolică: , modelul discului Poincaré și Jumătatea pseudosferei de curbură este acoperită de interiorul unui oriciclu. În o alegere convenabilă este porțiunea semiplanului cu . . Atunci funcția de acoperire este periodică în direcția cu perioada și aplică oriciclele pe meridianele pseudosferei și geodezicele verticale pe tractricele care generează pseudosfera. Această aplicare este o izometrie locală, prin urmare prezintă porțiunea a semiplanului superior ca universal al pseudosferei. Funcția exactă este

unde

este parametrizarea tractricei de mai sus.

Hiperboloid În unele surse care utilizează pentru planul hiperbolic, hiperboloidul este denumit „pseudosferă”. Această utilizare a cuvântului se datorează faptului că hiperboloidul poate fi gândit ca o sferă de rază imaginară, încorporat într-un spațiu Minkowski.

Note

Bibliografie

Vezi și Hiperboloid Sferă

Legături externe

Non Euclid Crocheting the Hyperbolic Plane: An Interview with David Henderson and Daina Taimina Norman Wildberger lecture 16, History of Mathematics, University of New South Wales. YouTube. 2012 May. Pseudospherical surfaces at the virtual math museum.

Categorie:Geometrie diferențială Categorie:Geometrie hiperbolică Categorie:Suprafețe de revoluție Categorie:Sfere