1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1  5  10 10  5  1 1  6  15 20 15  6  1  1   7  21 35 35 21  7   1 Triunghiul lui Pascal, rândurile de la 0 la 7. Identitatea crosei de hochei confirmă că, de exemplu pentru n=6, r=2, 1+3+6+10+15=35. În combinatorică identitatea:

pentru sau echivalent, imaginea în oglindă prin substituția :

pentru este cunoscută drept crosă de hochei, C.H. Jones (1996) Generalized Hockey Stick Identities and N-Dimensional Block Walking., Fibonacci Quarterly 34(3), 280-288. Denumirea provine din reprezentarea grafică a identității pe triunghiul lui Pascal: când sunt evidențiați termenii sumați și suma însăși, forma care apare amintește vag de o crosă de hochei.

Demonstrații Generarea demonstrației funcției Fie

și , și se compară coeficienții lui .

Demonstrații inductive și algebrice Atât demonstrațiile inductive, cât și cele algebrice folosesc formula lui Pascal:

Demonstrație inductivă Această identitate poate fi demonstrată prin inducție matematică pe .

Cazul inițial: fie ;

Pasul inductiv: se presupune că pentru un ,

Atunci

Demonstrație algebrică Se folosește un argument pentru a simplifica calculul sumei:

Demonstrații combinatorice Prima demonstrație Se presupune că se distribuie bomboane care nu se pot individualiza la copii care se individualizează. Aplicând direct metoda stele și bare, se obțin

moduri de a face asta. Ca alternativă, mai întâi se pot oferi bomboane celui mai mare, astfel încât, în esență, să se dea bomboane la copii, și din nou cu stele și bare și , se obține

care se simplifică la rezultatul dorit luând și și observând că :

A doua demonstrație se poate forma un comitet de mărimea dintr-un grup de oameni în

moduri.

Acum se distribuie numerele la din cei oameni. Se poate diviza asta în cazuri disjuncte. În general, în cazul în care , , persoana este în comitet, iar persoanele nu sunt în comitet. Acest lucru se poate face în

moduri. Acum se pot însuma valorile acestor cazuri disjuncte, obținând

Note

Legături externe On AOPS On StackExchange, Mathematics Pascal's Ladder on the Dyalog Chat Forum

Categorie:Combinatorică Categorie:Subiecte factoriale și binomiale Categorie:Articole care conțin demonstrații