În matematică produsul interior Frobenius este o operație binară între două matrici, ar cărei rezultat este un scalar. Este adesea notat . Operația este un produs interior pe elemente a două matrici ca și cum ar fi vectori și satisface axiomele pentru un produs interior. Cele două matrici trebuie să aibă aceeași dimensiune — același număr de linii și coloane, dar nu sunt restricționate să fie matrici pătrate.
Poartă numele matematicianului german Ferdinand Georg Frobenius.
Definiție Fiind date două matrici complexe și , scrise explicit ca
produsul scalar Frobenius este deefinit ca fiind
unde suprabararea indică conjugata complexă, iar indică adjuncta. Explicit, această sumă este
Relația cu alte produse Dacă și sunt fiecare matrici reale, produsul scalar Frobenius este suma elementelor din produsul Hadamard. Dacă matricile sunt vectorizate (adică, convertite în vectori coloană, notați cu „”), atunci
Prin urmare
Proprietăți Este o , pentru patru matrici complexe și două numere complexe și :
Permutarea matricelor înseamnă o conjugare complexă:
Dacă este aceeași matrice, , și .
Norma Frobenius Produsul scalar are norma Frobenius:
Exemple Matrici reale Pentru două matrici reale, dacă
atunci
Matrici complexe Pentru două matrici complexe, dacă
atunci
în timp ce
Produsele scalare Frobenius ale lui cu sine însăși, respectiv, cu sine însăși, sunt:
Note
Categorie:Matrice Categorie:Înmulțire