În matematică un element absorbantMariana Dumitru, Construcții de aproape inele (teză de doctorat, 2010, p. 114), Universitatea „Ovidius” din Constanța, accesat 2023-09-18 este un tip special de element al unei mulțimi în raport cu o operație binară pe acea mulțime. Rezultatul combinării unui element absorbant cu orice element al mulțimii este elementul absorbant în sine. În teoria semigrupului, elementul absorbant se numește element zeroJ.M. Howie, 1995, pp. 2–3M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, 2000, pp. 14–15 deoarece nu există riscul de confuzie cu alte noțiuni de zero, cu excepția notabilă: în notația aditivă zero poate, în mod firesc, să desemneze elementul neutru al unui monoid. În acest articol „element zero” și „element absorbant” sunt sinonime.
Definiție Formal, fie o mulțime cu o operație binară închisă, • (un Zalán Bodó, Structuri algebrice (curs, cap. 1, p. 5), Universitatea Babeș-Bolyai, accesat 2023-09-19). Un element zero este un element astfel încât pentru orice din , Această noțiune poate fi rafinată la noțiunile de zero la stânga, care cere doar ca și zero la dreapta, care cere doar ca
Elementele absorbante sunt deosebit de interesante pentru semigrupuri, în special semigrupul multiplicativ al unui semiinel. În cazul unui semiinel cu 0, definiția unui element absorbant este uneori relaxată, astfel încât nu este necesar să-l absoarbă pe 0; altfel 0 ar fi singurul element absorbant.J.S. Golan, 1999, p. 67
Proprietăți Dacă grupoidul are atât elementul zero la stânga , cât și cel la dreapta, ′, atunci are un zero, deoarece . Un grupoid poate avea cel mult un element zero.
Exemple Cel mai cunoscut exemplu de element absorbant provine din , unde orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero. Zero este astfel un element absorbant. Zeroul oricărui inel este, de asemenea, un element absorbant. Pentru un element al unui inel , , deci , deoarece zero este unicul element pentru care pentru orice din inelul . Această proprietate este valabilă și într-un , deoarece elementul neutru multiplicativ nu este necesar. Aritmetica în virgulă mobilă, așa cum este definită în standardul IEEE-754, conține o valoare specială numită „Not-a-Number” (NaN, în ). Este un element absorbant pentru orice operație; adică , etc. Mulțimea relațiilor binare peste o mulțime , împreună cu formează un monoid cu zero, unde elementul zero este mulțimea vidă. Intervalul închis cu este, de asemenea, un monoid cu zero, iar elementul zero este 0. Alte exemple: Domeniu Operația Absorbant Numere reale ⋅ Înmulțire 0 Întregi Cel mai mare divizor comun 1 Matrici pătrate Înmulțirea matricilor Matrice nulă Extensie a numerelor reale Infinit negativ −∞ Infinit pozitiv +∞ Mulțimi ∩ Intersecție ∅ Mulțime vidă Submulțimi ale mulțimii ∪ Reuniune Logică booleană ∧ ⊥ Fals ∨ „sau” logic ⊤ Adevărat
Note
Bibliografie
M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, .
Vezi și Element zero Element neutru Semigrup nul
Legături externe
Absorbing element la PlanetMath
Categorie:Teoria grupurilor Categorie:Operații binare Categorie:Algebră abstractă