În matematică, despre un ideal propriu al unui inel comutativ se spune că este ireductibil dacă nu poate fi scris ca intersecția a două ideale strict mai mari.
Exemple Orice ideal prim este ireductibil. Fie și ideale ale un inel comutativ , fără ca niciunul să fie conținut în celălalt. Atunci există și , unde niciunul nu este în dar produsul este. Acest lucru demonstrează că un ideal reductibil nu este prim. Un exemplu concret în acest sens sunt idealele și conținute în . Intersecția este , iar nu este un ideal prim. Orice ideal ireductibil al unui este un ideal primar, și, în consecință, pentru inelele noetheriene o descompunere ireductibilă este o . Orice ideal primar al unui este un ideal ireductibil.
Proprietăți Un element al unui domeniu de integritate este prim dacă și numai dacă idealul generat de acesta este un ideal prim nenul. Acest lucru nu este valabil pentru idealele ireductibile; un ideal ireductibil poate fi generat de un element care nu este un element ireductibil, așa cum este cazul în pentru idealul , deoarece nu este intersecția a două ideale strict mai mari.
Un ideal al unui inel poate fi ireductibil numai dacă pe care o definește este (adică orice submulțime deschisă este densă) pentru , sau echivalent dacă spațiul închis al format din idealele prime care îl conțin pe este ireductibil în topologia spectrului. Reciproca nu este valabilă; de exemplu, idealul de polinoame în două variabile fără termeni de ordinul întâi și al doilea nu este ireductibil.
Dacă este un corp algebric închis, alegerea radicalului unui ideal ireductibil al unui inel de polinoame peste este exact la fel cu alegerea unei a unei în spațiul afin al geometriei algebrice.
Note
Categorie:Ideale