thumb|upright=1.35|Reprezentare animată a evoluției temperaturii într-o placă metalică pătrată, așa cum prezice ecuația căldurii. Înălțimea și culoarea indică temperatura în fiecare punct. Starea inițială are o regiune uniform de caldă în formă de copită (cu roșu) înconjurată de o regiune uniform de rece (cu galben). Pe măsură ce trece timpul, căldura se difuzează în regiunea rece.
În matematică și fizică ecuația propagării călduriiUniversitatea din București, Facultatea de Fizică, Tematică de concurs, fizica.unibuc.ro, accesat 2025-01-27Alexandru Nicolau, Ecuații diferențiale pentru învățământul tehnic superior, București: Editura MatrixROM, 2022, , cap. 2.2Gheorghe Aniculăesei, Ecuații parabolice și hiperbolice (curs), Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași, p. 23, accesat 2025-01-27 (pe scurt ecuația căldurii) este o ecuație cu derivate parțiale parabolică. Teoria ecuației căldurii a fost dezvoltată pentru prima dată de Joseph Fourier în 1822 cu scopul de a modela modul de difuzie al căldurii printr-o zonă dată. De atunci, ecuația căldurii și variantele sale s-au dovedit a fi fundamentale în multe părți ale matematicii pure și aplicate.
Definiție Fie o submulțime deschisă din și un subinterval din , se spune că o funcție este o soluție a ecuației căldurii dacă:
unde este un punct general din domeniu. De obicet reprezintă timpul, iar sunt variabile spațiale, chiar și în contexte abstracte, în care aceste cuvinte nu au un sens intuitiv. Colecția de variabile spațiale este adesea denumită simplu . Pentru orice valoare dată a lui , membrul drept al ecuației este laplacianul funcției . Ca atare, ecuația căldurii este adesea scrisă mai compact ca
În contexte de fizică și inginerie, în special în contextul difuziunii printr-un mediu, este uzual să se fixeze un sistem de coordonate carteziene și apoi să se ia în considerare cazul specific al unei funcții de trei variabile spațiale și variabila de timp . Se spune atunci că este o soluție a ecuației căldurii dacă
în care este un coeficient pozitiv, numit difuzivitatea termică a mediului. Pe lângă alte fenomene fizice, această ecuație descrie fluxul de căldură într-un mediu omogen și izotrop, cu fiind temperatura în punctul și timpul . Dacă mediul nu este omogen și izotrop, atunci nu ar fi un coeficient fix, ci ar depinde de ; ecuația ar avea și o formă puțin diferită. În bibliografia de fizică și inginerie, se obișnuiește ca laplacianul să fie notat în loc de .
În matematică, fizică și inginerie se obișnuiește să se folosească notația lui Newton pentru derivatele timpului, astfel încât este folosit pentru a desemna , deci ecuația poate fi scrisă
De reținut că posibilitatea de a folosi fie fie pentru a desemna laplacianul, fără referire explicită la variabilele spațiale, este o reflectare a faptului că laplacianul este independent de alegerea sistemului de coordonate. În termeni matematici, s-ar spune că laplacianul este invariant translațional și rotațional. De fapt, este (vorbind vag) cel mai simplu operator diferențial care are aceste simetrii. Aceasta poate fi considerată o justificare semnificativă (și pur matematică) a utilizării laplacianului și a ecuației căldurii în modelarea oricăror fenomene fizice omogene și izotrope, din care difuzia căldurii este un exemplu principal.
Constanta de difuzivitate, , adesea nu este prezentă în studiile matematice ale ecuației căldurii, în timp ce valoarea acesteia poate fi foarte importantă în inginerie. Aceasta nu este o diferență majoră, din următorul motiv. Fie o funcție cu
Se definește o nouă funcție, . Apoi, conform regulii de derivare a funcțiilor compuse, se obține
Astfel, există o modalitate simplă de echivalare între soluțiile ecuației căldurii cu o valoare generală și soluțiile ecuației căldurii cu . Ca atare, de dragul analizei matematice, este adesea suficient să se ia în considerare doar cazul .
Deoarece există o altă opțiune pentru a defini un care să satisfacă ca în relațiile de mai sus punând . De reținut că cele două mijloace posibile de definire a noii funcții discutate aici înseamnă, în termeni fizici, schimbarea unității de măsură a timpului sau a unității de măsură a lungimii.
Ecuația pentru o stare staționară În regim de echilibru, ecuația căldurii nu este, prin definiție, dependentă de timp. Cu alte cuvinte, se presupune că există condiții astfel încât:
Această condiție depinde de constanta de timp și de timpul trecut de când au fost impuse condițiile de limită. Astfel, condiția este îndeplinită în situațiile în care „constanta de echilibru de timp este suficient de rapidă” încât ecuația mai complexă a căldurii dependentă de timp să poată fi aproximată prin cazul regimului staționar. Echivalent, starea de echilibru există pentru toate cazurile în care „a trecut suficient timp” încât câmpul termic nu mai evoluează în timp.
În cazul regimului staționar, un gradient termic spațial poate sau nu exista, dar dacă există, nu se schimbă în timp. Prin urmare, această ecuație descrie rezultatul final al tuturor problemelor termice în care o sursă este pornită (de exemplu, un motor pornit) și a trecut suficient timp pentru ca toți gradienții permanenți de temperatură să se stabilizeze în spațiu, după care aceste pante nu se mai schimbă în timp (de exemplu un motor care a functionat suficient de mult). Cealaltă soluție (trivială) este ca toți gradienții spațiali de temperatură să se anuleze, caz în care temperatura devine uniformă și în spațiu.
Ecuația este mult mai simplă și poate ajuta la înțelegerea mai bună a fizicii materialelor fără a se concentra pe dinamica procesului de transmitere a căldurii. Este utilizat pe scară largă pentru probleme simple de inginerie presupunând că există un echilibru al câmpurilor de temperatură și al transmiterii căldurii în timp.
Stare de echilibru:
Ecuația căldurii în regim de echilibru pentru un volum care conține o sursă de căldură (cazul neomogen), este ecuația lui Poisson:
unde este temperatura, este conductivitatea termică iar este rata de generare a căldurii pe unitatea de volum.
În electrostatică, acest lucru este echivalent cu cazul în care spațiul în cauză conține o sarcină electrică.
Ecuația căldurii în stare staționară fără o sursă de căldură în volum (cazul omogen) este la fel cu ecuația din electrostatică pentru un volum de spațiu liber care nu conține o sarcină. Cazul este descris de ecuația lui Laplace:
Interpretare Informal, operatorul laplacian dă diferența dintre valoarea medie a unei funcții în vecinătatea unui punct și valoarea acesteia în acel punct. Astfel, dacă este temperatura, indică dacă (și cât de mult) materialul din jurul fiecărui punct este, în medie, mai cald sau mai rece decât materialul din acel punct.
Conform principiului al doilea al termodinamicii, căldura va trece de la corpurile mai calde către corpurile mai reci adiacente, proporțional cu diferența de temperatură și cu conductivitatea termică a materialului dintre ele. Când căldura trece într-un (respectiv, dintr-un) material, temperatura acestuia crește (respectiv, scade), proporțional cu raportul dintre cantitatea de căldură și cantitatea de material (masă), raport numit capacitatea termică masică a materialului.
Prin combinarea acestor observații, ecuația căldurii spune că viteza cu care materialul într-un punct se va încălzi (sau se va răci) este proporțională cu cât de mult mai cald (sau mai rece) este mediul înconjurător al materialului. Coeficientul din ecuație ia în considerare conductivitatea termică, capacitatea termică masică și densitatea materialului.
Interpretarea ecuației Prima jumătate a descrierii fizice de mai sus poate fi pusă într-o formă matematică. Pentru orice fix, există
unde este o funcție de o singură variabilă care arată valoarea medie a lui pe o suprafață sferică cu raza și centrul în ; ea poate fi definită prin
unde cu este notată aria suprafeței unei bile unitate din spațiul euclidian -dimensional. Aceasta formalizează afirmația de mai sus că valoarea lui într-un punct măsoară diferența dintre valoarea lui și valoarea lui în punctele apropiate de , în sensul că acesta din urmă este definit de valorile lui pentru valori pozitive mici ale lui .
În urma acestei observații, se poate interpreta ecuația căldurii ca impunând o „mediere infinitezimală” a unei funcții. Fiind dată o soluție a ecuației căldurii, valoarea lui pentru o mică valoare pozitivă a poate fi aproximată ca produsul dintre și valoarea medie a funcției peste o sferă cu rază foarte mică, cu centrul în .
Caracterul soluțiilor thumb|upright=1.35|Rezolvarea unei ecuații a călduri într-un spațiu unidimensional. Temperatura () este distribuită inițial pe un interval unidimensional, lung de o unitate (x= [0,1]) cu puncte de la capete izolate. Distribuția se apropie de echilibru în timp.
Ecuația căldurii implică faptul că vârfurile (maxime locale) ale vor fi erodate treptat, în timp ce depresiunile (minime locale) vor fi umplute. Valoarea la un moment dat va rămâne stabilă doar atâta timp cât este egală cu valoarea medie din împrejurimile sale imediate. În special, dacă valorile dintr-o vecinătate sunt foarte apropiate de o funcție liniară , atunci valoarea din centrul acelei vecinătăți nu se va schimba în acel moment. (adică derivata se va anula).
O consecință mai subtilă este , care spune că valoarea maximă a lui în orice regiune a mediului nu va depăși valoarea maximă care anterior a apărut în , cu excepția cazului în care se află la limita lui . Adică, temperatura maximă într-o regiune poate crește numai dacă căldura intră din exteriorul . Aceasta este o proprietate a ecuațiilor diferențiale parțiale parabolice și nu este dificil de demonstrat matematic.
O altă proprietate interesantă este că, chiar dacă are inițial un salt ascuțit (discontinuitate) a valorilor pe o suprafață din interiorul mediului, saltul este imediat netezit de o rată de transfer momentană, infinitezimal de scurtă, dar infinit de mare de căldură prin acea suprafață. De exemplu, dacă două corpuri izolate, inițial la temperaturi uniforme, dar diferite, și , sunt făcute să se atingă, temperatura la punctul de contact va prelua imediat ceva valoare intermediară și o zonă se va dezvolta în jurul acestui punct în care va varia treptat între și .
Dacă o anumită cantitate de căldură este aplicată brusc într-un punct din mediu, aceasta se va răspândi în toate direcțiile sub forma unei unde de difuzie. Spre deosebire de undele elastice și cele electromagnetice, viteza unei unde de difuzie scade cu timpul: pe măsură ce se răspândește pe o regiune mai mare, gradientul de temperatură scade, prin urmare fluxul de căldură scade și el.
Exemple Transmiterea căldurii într-o bară uniformă Pentru fluxul de căldură, ecuația căldurii decurge din legile fizice a conducției termice și a conservării energiei.Cannon, 1984
Dn legea lui Fourier pentru un mediu izotrop, rata de transfer printr-o suprafață a energiei termice pe unitate de suprafață este proporțională cu gradientul de temperatură negativ transversal pe ea:
unde este conductivitatea termică a materialului, este temperatura, iar este câmpul vectorial care indică mărimea și direcția fluxului termic în punctul din spațiu și la momentul .
Dacă mediul este o tijă subțire din material uniform și cu secțiune constantă, poziția este o singură coordonată și fluxul termic în direcția este un câmp scalar. Ecuația devine:
Fie energia internă (căldura) per unitate de volum a barei în funcție de poziția punctului și de momentul de timp. Fluxul termic din material pe unitatea de volum, este proporțional cu viteza de modificare a temperaturii sale, adică
unde este capacitatea termică masică (în cazul gazelor la presiune constantă) iar este densitatea materialului. Această formă presupune că densitatea și capacitatea termică masică sunt constante în spațiu și timp.