În matematică, o condiție la limită de tip NeumannȘtefan I. Maksay, Diana Alina Bistrian, Introducere în metoda elementelor finite, Iași: Editura Cermi, 2008, , p. 90Romeo Resiga, Complemente de Mecanica Fluidelor și Tehnici de Soluționare Numerică, Timișoara: Ed. Orizonturi Universitare, 1999, , p. 144 este impusă unei ecuații diferențiale ordinare sau unei ecuații cu derivate parțiale, astfel încât derivatele parțiale în direcție normală pe care soluția le ia de-a lungul limitei domeniului sunt fixe. Problema găsirii de soluții la astfel de ecuații este cunoscută sub numele de problema Neumann. În științe și inginerie, o condiție de limită Neumann poate fi denumită și condiție la limită naturală sau condiție la limită de tipul al doilea. Este numită astfel după Carl Neumann.
Exemple Ecuații diferențiale ordinare Pentru o ecuație diferențială ordinară, de exemplu
condițiile la limită Neumann pe intervalul au forma
unde și sunt numere date.
Ecuații cu derivate parțiale Pentru o ecuație cu derivate parțiale, de exemplu
unde este laplacianul, condițiile la limită Neumann pe domeniul au forma
unde este vectorul normal (de obicei exterior) pe limita domeniului , iar este o funcție scalară.
Derivata normală, care apare în membrul stâng, este definită ca
unde este gradientul lui , este versorul normal, iar este operatorul produs scalar.
Devine clar că limita (frontiera) trebuie să fie suficient de netedă, astfel încât derivata normală să poată exista, deoarece în punctele singulare de pe frontieră vectorul normal nu este bine definit.
Aplicații Următoarele sunt exemple de condiții la limită Neumann. În termodinamică un flux termic prescris printr-o suprafață ar fi o condiție la limită. De exemplu, un izolator termic perfect ar avea flux zero, în timp ce o componentă electrică poate disipa o putere electrică cunoscută. În magnetostatică intensitatea câmpului magnetic poate fi prescrisă ca o condiție la limită pentru a găsi distribuția densității fluxului magnetic într-o rețea de magneți în spațiu, de exemplu într-un motor cu magneți permanenți. Deoarece problemele din magnetostatică implică rezolvarea ecuației lui Laplace sau a ecuației lui Poisson pentru , condiția la limită este o condiție Neumann. În , o condiție de limită Neumann pentru un , cum ar fi , poate fi interpretată ca o limită reflectantă, astfel încât toți indivizii care ajung la sunt întorși înapoi în .
Alte condiții la limită Sunt posibile multe alte condiții la limită, inclusiv condiții la limită de tip Cauchy și condiții la limită mixte. Acestea din urmă sunt o combinație a condițiilor Dirichlet și Neumann.
Note
Vezi și Condiție la limită Robin Condiții la limită în mecanica fluidelor
Neumann