În geometrie, teorema lui Jung este o inegalitate între diametrul unei mulțimi de puncte din orice spațiu euclidian și raza bilei minime care înconjoară acea mulțime. Teorema poartă numele lui Heinrich Jung, care a studiat pentru prima dată această inegalitate în 1901. De asemenea, există algoritmi pentru rezolvarea explicită a problemei cercului minim.
Formulare Considerăm o mulțime compactă
și
diametrul lui K, adică cea mai mare distanță euclidiană dintre oricare două puncte ale sale. Teorema lui Jung afirmă că există o bilă închisă cu raza
care conține K. Cazul de egalitate este atins de n-simplexul regulat.
Teorema lui Jung în plan Cel mai comun caz al teoremei lui Jung este în plan, adică atunci când n = 2. În acest caz, teorema afirmă că există un cerc care cuprinde toate punctele și a cărui rază satisface
Această inegalitate este optimă, deoarece pentru un triunghi echilateral K (sau cele trei vârfuri ale sale) avem
Spații metrice generale Pentru orice mulțime mărginită dintr-un spațiu metric oarecare, avem relația: . Prima inegalitate este o consecință a inegalității triunghiului, aplicată centrului bilei și oricare două puncte. A doua inegalitate rezultă din faptul că o bilă de rază , centrată în orice punct al lui , va conține pe în întregime. Ambele inegalități sunt optime:
Într-un spațiu metric uniform, adică un spațiu în care toate distanțele sunt egale, . La celălalt capăt al spectrului, într-un spațiu metric injectiv, cum ar fi distanța Manhattan în plan, : oricare două bile închise de rază centrate în punctele lui au o intersecție nevidă, prin urmare toate aceste bile au o intersecție comună și o bilă de rază centrată într-un punct al acestei intersecții conține toate punctele din .
Sunt cunoscute și versiuni ale teoremei lui Jung pentru diverse geometrii neeuclidiene (vezi, de exemplu, Dekster 1995, 1997).
Referințe
Categorie:Geometrie metrică Categorie:Teoreme de geometrie Categorie:Geometrie euclidiană