În teoria numerelor, teorema Green–Tao, demonstrată de Ben Green și Terence Tao în 2004, afirmă că șirul numerelor prime conține progresii aritmetice arbitrar de lungi. Cu alte cuvinte, pentru fiecare număr natural , există progresii aritmetice de numerere prime cu termeni. Demonstrația este o extindere a teoremei lui Szemerédi. Problema își are originea în cercetările lui Lagrange și Waring din jurul anului 1770..
Enunț Fie numărul de numere prime mai mici sau egale cu . Dacă este o submulțime a mulțimii numerelor prime astfel încât
atunci pentru orice număr întreg pozitiv , mulțimea conține o infinitate de progresii aritmetice de lungime . În particular, mulțimea tuturor numerelor prime conține progresii aritmetice arbitrar de lungi.
În lucrările lor ulterioare asupra conjecturii generalizate a lui Hardy și Littlewood, Green și Tao au enunțat și demonstrat condiționat formula asimptotică
pentru numărul de k-tupluri de numere prime în progresie aritmetică. Aici, este constanta
Rezultatul a fost făcut necondiționat de Green–Tao și Green–Tao–Ziegler.
Rezumatul demonstrației Demonstrația lui Green și Tao are trei componente principale:
Teorema lui Szemerédi, care afirmă că mulțimile de numere întregi cu densitate superioară pozitivă conțin progresii aritmetice arbitrar de lungi. Nu se aplică a priori numerelor prime deoarece acestea au densitatea zero în numerele întregi. Un principiu de transfer care extinde teorema lui Szemerédi la mulțimi de numere întregi care sunt pseudoaleatoare într-un sens adecvat. Un astfel de rezultat este numit acum o teoremă Szemerédi relativă. O submulțime pseudoaleatoare a numerelor întregi care conține mulțimea numerelor prime ca submulțime densă. Pentru a construi această mulțime, Green și Tao au folosit idei din lucrările lui Goldston, Pintz și Yıldırım asupra diferențelor de numere prime consecutive.
Au fost găsite numeroase simplificări ale argumentului din articolul original. oferă o prezentare modernă a demonstrației.
Rezultate numerice Demonstrația teoremei Green–Tao nu arată cum se pot găsi progresiile aritmetice de numere prime, ci doar dovedește că acestea există. Au existat abordări computaționale separate pentru a găsi secvențe lungi de numere prime în progresie aritmetică.
În articolul lui Green și Tao se afirmă: „La momentul scrierii, cea mai lungă progresie aritmetică cunoscută de numere prime are lungimea 23 și a fost descoperită în 2004 de Markus Frind, Paul Underwood și Paul Jobling: 56211383760397 + 44546738095860” · k ; k = 0, 1, ..., 22.”.
În 18 ianuarie 2007, Jarosław Wróblewski a descoperit primul caz cunoscut de 24 de numere prime în progresie aritmetică:
468.395.662.504.823 + 205.619 · 223.092.870 · n, pentru n = 0, 1, 2, ..., 23.
Constanta 223.092.870 este produsul numerelor prime până la 23 (inclusiv), scris mai compact 23# în notație primorială.
În 17 mai 2008, Wróblewski și Raanan Chermoni au descoperit primul caz cunoscut de 25 de numere prime:
6.171.054.912.832.631 + 366.384 · 23# · n, pentru n = 0, 1, 2, ..., 24.
În 12 aprilie 2010, Benoît Perichon, cu ajutorul unui software dezvoltat de Wróblewski și Geoff Reynolds într-un proiect distribuit PrimeGrid, a descoperit primul caz cunoscut de 26 de numere prime (șirul A204189 la OEIS):
43.142.746.595.714.191 + 23.681.770 · 23# · n, pentru n = 0, 1, 2, ..., 25.
În septembrie 2019, Rob Gahan și PrimeGrid au descoperit primul caz cunoscut de 27 de numere prime (șirul A327760 la OEIS):
224.584.605.939.537.911 + 81.292.139 · 23# · n, pentru n = 0, 1, 2, ..., 26.
Extinderi și generalizări Multe dintre extinderile teoremei lui Szemerédi sunt valabile și pentru numerele prime.
Independent, Tao și Ziegler și Cook, Magyar și Titichetrakun au obținut o generalizare multidimensională a teoremei Green-Tao. Demonstrația lui Tao și Ziegler a fost, de asemenea, simplificată de Fox și Zhao.
În 2006, Tao și Ziegler au extins teorema Green-Tao pentru a acoperi progresiile polinomiale. Mai precis, fiind date oricare polinoame cu valori întregi într-o necunoscută , toate cu termenul liber 0, există o infinitate de numere întregi astfel încât sunt simultan prime. Cazul special în care polinoamele sunt implică rezultatul anterior conform căruia există progresii aritmetice de numere prime de lungime .
Tao a demonstrat un rezultat analog al teoremei Green-Tao pentru numerele prime gaussiene.
Note
Lectură suplimentară
Categorie:Teoria numerelor