În algebră, o unitate sau element inversabil al unui inel este un element simetrizabil în raport cu înmulțirea inelului. Adică, un element al unui inel este o unitate dacă există în astfel încât unde este elementul unitate; elementul este unic și se numește inversul multiplicativ al lui . Mulțimea unităților lui formează un grup în raport cu înmulțirea, numit grupul unităților lui . Alte notații pentru grupul unităților sunt , și (din termenul german ).

Mai rar, termenul „unitate” este uneori folosit pentru a desemna elementul al inelului, în expresii precum „inel cu unitate” sau „matrice unitate”. Din cauza acestei ambiguități, este mai frecvent numit „elementul unitate” sau „identitatea” inelului, iar expresiile „inel cu element unitate” sau „inel cu identitate” pot fi folosite pentru a sublinia faptul că se consideră un inel, nu un pseudoinel.

Exemple Identitatea multiplicativă și opusul său sunt întotdeauna unități. Mai general, orice rădăcină a unității într-un inel este o unitate: dacă , atunci este inversul multiplicativ al lui . Într-un inel nenul, elementul 0 nu este o unitate, deci nu este închis la adunare. Un inel nenul în care fiecare element nenul este o unitate (adică ) se numește corp. Un corp în care operația de înmulțire este comutativă se numește corp comutativ. De exemplu, grupul unităților corpului numerelor reale este .

Inel întreg În inelul de numere întregi , singurele unități sunt și .

În inelul al claselor de resturi modulo , unitățile sunt clasele de congruență reprezentate de numere întregi coprime cu . Acestea constituie grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo .

Inel de întregi al unui corp de numere algebrice În inelul obținut prin adjuncționarea întregului pătratic la , avem , deci este o unitate, la fel și puterile sale, deci are o infinitate de unități.

Mai general, pentru inelul de întregi al unui corp de numere algebrice , teorema unităților a lui Dirichlet afirmă că este izomorf cu grupul unde este grupul (finit, ciclic) al rădăcinilor unității în , iar , rangul grupului unităților, este unde sunt numărul de scufundări reale și respectiv numărul de perechi de scufundări complexe ale lui .

Aceasta susține exemplul cu : Grupul unităților al (inelului de întregi al) unui corp pătratic real este infinit de rang 1, deoarece .

Polinoame și serii de puteri Pentru un inel comutativ , unitățile inelului de polinoame sunt polinoamele pentru care este o unitate în și coeficienții rămași sunt elemente nilpotente, adică satisfac pentru un anumit . În particular, dacă este un domeniu (sau, mai general, redus), atunci unitățile lui sunt unitățile lui . Unitățile inelului de serii de puteri sunt seriile de puteri cu o unitate în .

Inele de matrici Grupul unităților inelului de matrici peste un inel este grupul de matrici inversabile. Pentru un inel comutativ , un element al lui este inversabil dacă și numai dacă determinantul lui este inversabil în . În acest caz, se poate exprima explicit în funcție de matricea adjunctă.

În general Pentru elementele și dintr-un inel , dacă este inversabil, atunci este inversabil cu inversa ; această formulă poate fi ghicită, dar nu demonstrată, prin următorul calcul într-un inel de serii de puteri necomutative: Vezi identitatea lui Hua pentru rezultate similare.

Grupul unităților Un inel comutativ este un inel local dacă este un ideal maximal.

Dacă este un ideal, atunci este în mod necesar un ideal maximal și este local, deoarece un ideal maximal nu are elemente comune cu .

Dacă este un corp finit, atunci este un grup ciclic de ordin .

Orice morfism de inele induce un morfism de grupuri , deoarece trimite unitățile în unități. De fapt, formarea grupului unităților definește un functor de la categoria inelelor la categoria grupurilor. Acest functor are un adjunct stâng care este construcția inelului de grup peste .

Asociere În cele ce urmează este presupus comutativ. Elementele și ale lui se numesc asociate dacă există o unitate în astfel încât ; acest lucru se notează . În orice inel, perechile de elemente opuse și sunt asociate, deoarece orice inel conține unitatea . De exemplu, 6 și −6 sunt asociate în . În general, este o relație de echivalență pe .

Asocierea poate fi descrisă și pe baza acțiunii lui pe prin înmulțire: Două elemente ale lui sunt asociate dacă se află în aceeași -orbită.

Într-un domeniu de integritate, mulțimea elementelor asociate cu un element nenul dat are același cardinal ca .

Relația de echivalență poate fi privită ca oricare dintre relațiile de semigrup ale lui Green aplicate semigrupului multiplicativ al unui inel comutativ .

Note explicative

Note

Bibliografie

Categorie:Teoria inelelor Categorie:Teoria grupurilor Categorie:Teoria algebrică a numerelor