În mecanica statistică, teoria probabilităților, teoria grafurilor etc. modelul clusterelor aleatorii (cunoscut și ca modelul RC sau reprezentarea FK, după fondatorii săi Cees Fortuin și ) este un ce generalizează și unifică modelul Ising, modelul Potts și și este utilizat pentru studiul structurilor combinatorice aleatorii, circuitelor electrice, etc. Modelul are o limită critică descrisă de o .
Definiție Fie un graf neorientat, cu mulțimea vârfurilor și mulțimea muchiilor, și o configurație de legături care asociază fiecărei muchii o valoare 0 sau 1. O legătură este închisă pentru muchia dacă și deschisă dacă . Dacă notăm mulțimea legăturilor deschise, atunci un cluster deschis sau cluster FK este o componentă conexă a grafului parțial . Un cluster poate fi un singur vârf (dacă nu este incident la nicio legătură deschisă).
În percolarea Bernoulli, fiecare muchie este deschisă independent cu probabilitatea și închisă cu . Măsura de probabilitate corespunzătoare unei configurații este:
Modelul clusterelor aleatorii generalizează această formulare, ponderând fiecare cluster deschis cu un factor . Pentru o configurație , fie numărul clusterelor deschise (componentelor conexe). Atunci măsura RC este:
unde este (suma ponderată a tuturor configurațiilor):
Această funcție de partiție este un caz particular al asociat lui și și corespunde unui caz particular al polinomului Tutte multivariat.
Valori particulare ale lui q Parametrul poate fi orice număr pozitiv real, dar cazuri speciale includ: : rețele de rezistențe liniare. : percolare cu corelație negativă. : percolarea Bernoulli, cu și . : modelul Ising feromagnetic. : modelul Potts cu q stări.
Reprezentarea Edwards–Sokal Reprezentarea Edwards–Sokal (ES) unifică modelul Potts și modelul RC printr‑o distribuție comună asupra configurațiilor de spin și legături. Pentru un graf cu vârfuri și muchii, o configurație de spin este și una de legături . Măsura comună este:
unde este măsura uniformă pe spinuri, este măsura produs independent cu probabilitatea pentru fiecare muchie, și funcția indicator impune pentru orice muchie cu .
Proprietățile statistice esențiale includ: Marginalul pe corespunde măsurii Boltzmann a modelului Potts cu stări și parametrul . Marginalul pe este măsura RC cu parametrii și . Condiționat de , spinurile sunt atribuite uniform pe fiecare cluster conex. Condiționat de , legăturile sunt deschise independent doar pe muchiile cu spinuri identice cu probabilitatea . În cazul Ising (), probabilitatea ca două vârfuri să fie în același cluster este egală cu funcția de corelație între spinuri.
Frustrare În modelele cu frustrare geometrică (ex. Ising mixt feromagnetic/antiferomagnetic), corespondența dintre statistica spinurilor și cea a clusterelor se pierde. Lungimea de corelație RC devine mai mare decât cea a spinurilor, ceea ce face algoritmul Swendsen–Wang ineficient.
Caz bidimensional Pe un graf planar și dualul său , există o dualitate de forma cu și . Pe o rețea autoduală (ex. rețea pătrată bidimensională), transformarea de fază apare la .
Modelul poate fi reformulat ca un model de bucle pe graful medial. În abordarea matricei de transfer, acestea sunt descrise prin algebra cu și sunt echivalente cu pentru un anumit .
În modelul bidimensional critic, modelul RC este descris de o teorie de câmp conformă cu sarcină centrală , unde . Dimensiunile conforme ale operatorilor de detectare a clusterelor corespund indicilor Kac.
Istoric și aplicații Introdus în 1969 de Fortuin și Kasteleyn pentru combinatorică, modelul a fost popularizat ca inspirație pentru algoritmul Swendsen–Wang (1987) și pentru studii de granițe de fază Ising/Potts (Aizenman et al., 1987). A fost esențial pentru derivarea inegalității FKG (1971).
Note
Legături externe Random-Cluster Model – Wolfram MathWorld
Vezi și
Modelul Ising
Categorie:Teoria grafurilor Categorie:Mecanică statistică