În analiza numerică metodele cu diferențe finite (MDF) sunt o clasă de tehnici numerice pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale prin aproximarea derivatelor cu diferențe finite. Atât domeniul spațial, cât și domeniul timp (dacă este cazul) sunt discretizate, adică împărțite într-un număr finit de intervale, iar valorile soluției în capetele intervalelor sunt aproximate prin rezolvarea ecuațiilor algebrice care conțin diferențe finite și valori din punctele apropiate.
Metodele cu diferențe finite transformă ecuațiile diferențiale ordinare (EDO) sau ecuațiile cu derivate parțiale (EDP), care pot fi neliniare, într-un sistem de ecuații liniare care poate fi rezolvat prin operații matriciale. Calculatoarele moderne pot efectua eficient aceste calcule de algebră liniară, iar acest lucru, împreună cu ușurința relativă de implementare, a dus la utilizarea pe scară largă a MDF în analiza numerică modernă. Astăzi, metodele cu diferențe finite sunt printre dintre cele mai comune abordări pentru rezolvarea numerică a EDP, alături de metodele cu elemente finite.
Obținerea câtului diferenței din polinomul lui Taylor Pentru o funcție derivabilă de ori, conform dezvoltarea în serie Taylor este:
unde este factorialul lui , iar este termenul de rest, conținând diferența dintre polinomul lui Taylor de gradul și funcția originală:
Împărțind cu se obține:
Rezolvând pentru :
Presupunând că este suficient de mic, aproximarea primei derivate a lui este:
Expresia din dreapta relației precedente este câtul diferenței, care, cu excepția limitei la zero, este similar cu definiția derivatei:
Metoda de calcul este numită după această diferență.
Exactitate și ordin Eroarea în soluția obținută printr-o metodă numerică este definită ca diferența dintre aproximație și soluția analitică exactă. Cele două surse de eroare în metodele cu diferențe finite sunt eroarea de rotunjire, care este pierderea de precizie datorată reprezentării în calculatoare a mărimilor zecimale, și eroarea de trunchiere, care este diferența dintre soluția exactă a ecuației diferențiale inițiale și valoarea exactă presupunând o aritmetică perfectă (fără rotunjire).
right|thumb|Metoda diferențelor finite se bazează pe discretizarea unei funcții într-o grilă Pentru a utiliza o metodă cu diferențe finite pentru a aproxima soluția unei probleme, trebuie mai întâi discretizat domeniul problemei. Acest lucru se face de obicei prin împărțirea domeniului într-o grilă regulată (v. imaginea). Aceasta înseamnă că metodele cu diferențe finite produc seturi de aproximări numerice discrete ale derivatei, adesea într-o manieră „pas cu pas”.
O expresie de interes general este eroarea locală de trunchiere a unei metode. Exprimată de obicei folosind notația Big O, eroarea locală de trunchiere se referă la eroarea la o singură aplicare a unei metode. Adică este cantitatea unde este valoarea exactă, iar este aproximarea numerică. Pentru a analiza eroarea locală de trunchiere poate fi utilizat termenul rest al polinomului Taylor. Folosind forma Lagrange a restului din polinomul Taylor pentru , care este:
se poate afla termenul dominant al erorii locale de trunchiere. De exemplu, folosind din nou formula diferenței înainte pentru prima derivată, știind că ,
și cu unele manipulări algebrice, aceasta duce la:
și, observând în continuare că mărimea din stânga este aproximarea din metoda diferențelor finite și că mărimea din dreapta este mărimea exactă de interes plus un rest, în mod clar acel rest este eroarea locală de trunchiere. O expresie finală a acestui exemplu și ordinul său sunt:
În acest caz, eroarea locală de trunchiere este proporțională cu mărimile pașilor. Calitatea și durata soluției MDF simulate depind de alegerea ecuației de discretizare și de mărimile pașilor de timp și spațiu. Calitatea datelor și durata simulării cresc semnificativ odată cu diminuarea mărimilor pașilor. Prin urmare, este necesar un echilibru rezonabil între calitatea datelor și durata simulării pentru utilizarea practică. Pașii de timp mari sunt utili pentru creșterea vitezei de simulare în practică. Totuși, pași de timp prea mari pot crea instabilități și pot afecta calitatea datelor.
Criteriile și sunt adesea evaluate pentru a determina stabilitatea modelului numeric.
Exemplu: ecuație diferențială ordinară De exemplu, fie ecuația diferențială ordinară
pentru rezolvarea acestei ecuații folosește câtul diferențelor finite:
pentru a aproxima ecuația diferențială prin înlocuirea ei mai întâi cu apoi înmulțind relația cu și adunând la ambii membri. Se obține:
Ultima ecuație este o ecuație cu diferențe finite, iar rezolvarea acestei ecuații oferă o soluție aproximativă a ecuației diferențiale.
Exemplu: ecuația propagării căldurii Fie ecuația propagării căldurii normalizată, într-o singură dimensiune, cu condiții la limită Dirichlet omogene:
O modalitate de a rezolva numeric această ecuație este de a aproxima toate derivatele prin diferențe finite. Mai întâi se discretizează domeniul în spațiu folosind o grilă regulată și în timp folosind o grilă regulată unidimensională astfel încât diferența dintre două puncte spațiale consecutive să fie și dintre două puncte de timp consecutive să fie . Punctele
vor fi aproximarea numerică a lui
Metoda explicită right|thumb|Schema pentru cea mai comună metodă explicită pentru ecuația propagării căldurii Folosind o diferență înainte la momentul și o diferența centrală de ordinul al doilea pentru derivata spațială la poziția () se obține ecuația recurentă:
Aceasta este o metodă explicită pentru rezolvarea ecuației propagării unidimensionale a căldurii.
Se poate obține din celelalte valori în felul următor:
unde .
Deci, cu această relație de recurență și cunoscând valorile la momentul , se pot obține valorile corespunzătoare la momentul și trebuie înlocuite de condițiile la limită, în acest exemplu ambele fiind 0.
Se știe că această metodă explicită este stabilă numeric și convergentă când Crank, J. The Mathematics of Diffusion. 2nd Edition, Oxford, 1975, p. 143. Erorile numerice sunt proporționale cu pasul de timp și cu pătratul pasului spațial:
Metoda implicită right|thumb|Schema metodei implicite Folosind o diferență înapoi la momentul și o diferența centrală de ordinul al doilea pentru derivata spațială la poziția (schema BTCS) se obține ecuația recurentă:
Aceasta este o metodă implicită pentru rezolvarea ecuației propagării unidimensionale a căldurii.
Se poate obține rezolvând sistemul de ecuații liniare:
Schema este întotdeauna stabilă numeric și convergentă, dar de obicei mai costisitoare numeric decât metoda explicită, deoarece necesită rezolvarea unui sistem de ecuații la fiecare pas de timp. Erorile numerice sunt proporționale cu pasul de timp și cu pătratul pasului spațial:
Metoda Crank–Nicolson right|thumb|Schema Crank–Nicolson Folosind o diferență centrală la momentul și o diferența centrală de ordinul al doilea pentru derivata spațială la poziția (schema CTCS) se obține ecuația recurentă:
Această formulă este cunoscută sub numele de metoda Crank–Nicolson.
Se poate obține rezolvând sistemul de ecuații liniare:
Schema este întotdeauna stabilă numeric și convergentă, dar de obicei mai costisitoare numeric decât metoda explicită, deoarece necesită rezolvarea unui sistem de ecuații la fiecare pas de timp. Erorile numerice sunt proporționale cu pătratele pasului de timp și al celui spațial:
Comparație Pe scurt, de obicei schema Crank–Nicolson este cea mai precisă schemă pentru pași de timp mici. Pentru pași de timp mai mari, schema implicită funcționează mai bine, deoarece necesită mai puține resurse de calcul. Schema explicită este cea mai puțin precisă și poate fi instabilă, dar este și cea mai ușor de implementat și cea mai puțin costisitoare numeric.
Iată un exemplu. Figurile de mai jos prezintă soluțiile date de metodele de mai sus pentru aproximarea ecuației propagării căldurii.
cu condiția la limită:
Soluția exactă este:
Exemplu: laplacianul Laplacianul -dimensional este Laplacianul discret depinde de dimensiunea
Într-un spațiu unidimensional aproximarea laplacianului este:
Această aproximare este de obicei exprimată folosind următoarea schemă:
care reprezintă o matrice simetrică, tridiagonală. Pentru o grilă echidistantă se obține o matrice Toeplitz.
Cazul bidimensional prezintă toate caracteristicile cazului -dimensional mai general. Fiecare derivată parțială secundară trebuie aproximată similar cazului unidimensional.:
care este de obicei dată de următoarea schemă:
Consistență Consistența aproximării menționate mai sus poate fi demonstrată pentru funcții foarte regulate, cum ar fi Enunțul este:
Pentru a demonstra acest lucru, se înlocuiesc dezvoltările în serie Taylor până la ordinul al treilea în laplacianul discret.
Properietăți Subarmonică Similar cu funcțiile subarmonice continui se pot defini „funcții subarmonice” pentru aproximări cu diferențe finite :
Valoarea medie Se poate defini o schemă generală de „tip pozitiv” prin:
Dacă este subarmonică (discretă), atunci este valabilă următoarea „proprietate a valorii medii”:
unde aproximarea este evaluată în puncte ale grilei, iar schema se presupune a fi de tip pozitiv.
O proprietate similară valorii medii este valabilă și pentru cazul continuu.
Principiul maximului Pentru o funcție subarmonică (discretă) este valabilă următoarea:
unde sunt discretizări ale domeniului continuu respectiv limita
O proprietate similară principiului maximului este valabilă și pentru cazul continuu.
Metoda SBP-SAT Metoda SBP-SAT (din ) este o tehnică stabilă și precisă pentru discretizarea și impunerea condițiilor la limită unei ecuații cu derivate parțiale liniare bine puse, utilizând diferențe finite de ordin înalt.
Metoda se bazează pe diferențe finite, unde operatorii cu diferențe prezintă proprietăți de însumare prin părți. De obicei, acești operatori constau din matrici de diferențe cu scheme de diferențe centrale în interior, cu scheme de limită unilaterale atent alese, concepute pentru a imita integrarea prin părți în configurație discretă. Folosind tehnica SAT, condițiile la limită ale EDP sunt impuse slab, unde valorile la limită sunt mai degrabă „trase” către condițiile dorite, decât îndeplinite exact. Dacă parametrii de reglare (inerenți tehnicii SAT) sunt aleși corect, sistemul de EDP rezultat va prezenta un comportament energetic similar cu EDP continue, adică sistemul nu are o creștere energetică care să nu fie fizică. Acest lucru garantează stabilitatea dacă se utilizează o schemă de integrare cu o regiune de stabilitate care cuprinde părți ale axei imaginare, cum ar fi metoda Runge–Kutta de ordinul patru. Acest lucru face ca tehnica SAT să fie o metodă atractivă de impunere a condițiilor la limită pentru metodele cu diferențe finite de ordin superior, spre deosebire de, de exemplu, metoda de injecție, care de obicei nu va fi stabilă dacă se utilizează operatori cu diferențe de ordin superior. Formularea aditivă a termenilor SAT poate simplifica implementările eficiente ale acestei metode pe GPU-uri sau alte arhitecturi moderne de înaltă performanță, tratând condițiile la limită ca termeni de corecție separați, spre deosebire de metodele cu diferențe finite care impun condiții la limită prin injectarea directă a datelor la limită.
Note
Lectură suplimentară K.W. Morton and D.F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction. Cambridge University Press, 2005. Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications, (2008) . Contains a brief, engineering-oriented introduction to FDM (for ODEs) in Chapter 08.07 .
. Randall J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM, 2007. Sergey Lemeshevsky, Piotr Matus, Dmitriy Poliakov(Eds): "Exact Finite-Difference Schemes", De Gruyter (2016). DOI: https://doi.org/10.1515/9783110491326 .