În matematică, raza de stabilitate a unui obiect matematic (sistem, funcție, matrice, parametru) la un punct nominal dat este raza celei mai mari bile, centrată în punctul nominal, ale cărei elemente satisfac toate condițiile de stabilitate predefinite. Reprezentarea grafică a acestei noțiuni intuitive este următoarea:

500px

unde denotă punctul nominal, denotă spațiul tuturor valorilor posibile ale obiectului , iar suprafața hașurată, , reprezintă mulțimea punctelor care satisfac condițiile de stabilitate. Raza cercului albastru, reprezentată în roșu, este raza de stabilitate.

Definiție abstractă Definiția formală a acestui concept variază în funcție de domeniul de aplicare. Următoarea definiție abstractă este extrem de utilă:Zlobec S. (2009). Nondifferentiable optimization: Parametric programming. Pp. 2607-2615, in Encyclopedia of Optimization, Floudas C.A and Pardalos, P.M. editors, Springer.Sniedovich, M. (2010). A bird's view of info-gap decision theory. Journal of Risk Finance, 11(3), 268-283.

unde denotă o bilă închisă de rază în centrată în .

Istoric Conceptul pare să fi fost introdus la începutul anilor 1960.Wilf, H.S. (1960). Maximally stable numerical integration. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 8(3), 537-540.Milne, W.E., and Reynolds, R.R. (1962). Fifth-order methods for the numerical solution of ordinary differential equations. Journal of the ACM, 9(1), 64-70. În anii 1980 a devenit popular în teoria controluluiHindrichsen, D. and Pritchard, A.J. (1986). Stability radii of linear systems, Systems and Control Letters, 7, 1-10. și în optimizare.Zlobec S. (1988). Characterizing Optimality in Mathematical Programming Models. Acta Applicandae Mathematicae, 12, 113-180. Este utilizată pe scară largă ca model de robustețe locală împotriva micilor perturbații ale valorii nominale a obiectului analizat.

Relația cu modelul maximin al lui Wald S-a demonstrat că modelul razei de stabilitate este o instanță a modelului maximin al lui Wald. Adică:

unde:

Penalizarea severă () este un artificiu pentru a forța decidentul (jucătorul ) să nu perturbe valoarea nominală dincolo de raza de stabilitate a sistemului. Aceasta indică faptul că modelul de stabilitate este un model de stabilitate/robustețe locală, mai degrabă decât globală.

Teoria deciziei bazată pe decalajul informațional Teoria deciziei bazată pe decalaj informațional (Info-gap decision theory) este o teorie modernă neprobabilistică a deciziei. Se afirmă că aceasta este radical diferită de toate teoriile existente privind decizia în condiții de incertitudine. Cu toate acestea, s-a arătat că modelul său de robustețe, și anume:

este de fapt un model de rază de stabilitate caracterizat printr-o cerință simplă de stabilitate de forma , unde denotă decizia luată în considerare, denotă parametrul de interes, denotă estimarea valorii reale a lui , iar denotă o bilă de rază centrată în .

500px

Deoarece modelele razei de stabilitate sunt concepute pentru a trata mici perturbații ale valorii nominale a unui parametru, modelul de robustețe bazat pe decalaj informațional măsoară „robustețea locală” a deciziilor în vecinătatea estimării .

Sniedovich argumentează că, din acest motiv, teoria este inadecvată pentru tratarea incertitudinii severe caracterizate printr-o estimare slabă și un spațiu enorm de incertitudine.

Definiție alternativă

Există cazuri în care este mai convenabil să se definească raza de stabilitate ușor diferit. De exemplu, în multe aplicații din teoria controlului, raza de stabilitate este definită ca fiind mărimea celei mai mici perturbații destabilizatoare din valoarea nominală a parametrului analizat.Paice A.D.B. and Wirth, F.R. (1998). Analysis of the Local Robustness of Stability for Flows. Mathematics of Control, Signals, and Systems, 11, 289-302. Reprezentarea grafică este următoarea:

500px

Formal:

unde denotă distanța lui față de .

Raza de stabilitate a funcțiilor Raza de stabilitate a unei funcții continue f (într-un spațiu funcțional F) în raport cu un domeniu de stabilitate deschis D este distanța dintre f și mulțimea funcțiilor instabile (în raport cu D). Spunem că o funcție este „stabilă” în raport cu D dacă spectrul său se află în D. Aici, noțiunea de spectru este definită de la caz la caz, așa cum este explicat mai jos.

Definiție Formal, dacă notăm mulțimea funcțiilor stabile cu S(D) și raza de stabilitate cu r(f,D), atunci:

unde C este o submulțime a lui F.

De reținut că dacă f este deja instabilă (în raport cu D), atunci r(f,D)=0 (atât timp cât C conține elementul zero).

Aplicații Noțiunea de rază de stabilitate se aplică în general , cum ar fi polinoamele (spectrul fiind reprezentat de rădăcini) și matricile (spectrul fiind reprezentat de valorile proprii). Cazul în care C este o submulțime proprie a lui F ne permite să luăm în considerare structurate (de exemplu, pentru o matrice, am putea avea nevoie de perturbații doar pe ultima linie). Este o măsură importantă a robusteții, utilizată de exemplu în .

Proprietăți Fie f un polinom (complex) de gradul n, iar C=F mulțimea polinoamelor de grad mai mic (sau egal) cu n (pe care o identificăm aici cu mulțimea a coeficienților). Luăm ca domeniul D discul unitate deschis, ceea ce înseamnă că căutăm distanța dintre un polinom și mulțimea polinoamelor Schur . Atunci:

unde q conține fiecare vector din bază (de exemplu, când q este baza uzuală a puterilor). Acest rezultat înseamnă că raza de stabilitate este legată de valoarea minimă pe care f o atinge pe cercul unitate.

Exemple Polinomul (ale cărui rădăcini sunt rădăcinile de ordinul 8 ale lui 0,9) are o rază de stabilitate de 1/80 dacă q este baza puterilor, iar norma este norma infinit. Astfel, trebuie să existe un polinom g cu norma (infinit) 1/90 astfel încât f+g să aibă (cel puțin) o rădăcină pe cercul unitate. Un astfel de g este, de exemplu, . Într-adevăr, (f+g)(1)=0, iar 1 se află pe cercul unitate, ceea ce înseamnă că f+g este instabil.

Note

Vezi și

Categorie:Polinoame