thumb|Un tapet este invariant față de unele transformări. Acesta este invariant la translație și la rotație cu 180°, dar nu și la reflexie. Despre un obiect matematic (sau a unei clase de obiecte matematice) se spune că este invariant dacă rămâne neschimbat după aplicarea unor operații sau transformări de un anumit tip asupra obiectului respectiv. Clasa specifică de obiecte și tipul de transformare sunt de obicei indicate de contextul în care este utilizat termenul. De exemplu, aria unui triunghi este un invariant în raport cu izometriile planului euclidian. Se utilizează ambele formulări: „invariant față de” și „invariant la” o transformare. Într-un sens mai general, un invariant în raport cu o relație de echivalență este o proprietate care rămâne constantă pe fiecare clasă de echivalență.

Invarianții sunt utilizați în diverse domenii ale matematicii, precum geometria, topologia, algebra și matematica discretă. Unele clase importante de transformări sunt definite printr-un invariant (pe care îl lasă neschimbat). De exemplu, transformările conforme sunt definite ca transformări ale planului care conservă unghiurile. Descoperirea invarianților reprezintă un pas important în procesul de clasificare a obiectelor matematice.

Exemple Un exemplu simplu de invarianță este ilustrat de capacitatea de a număra. Pentru o mulțime finită de obiecte de orice fel, există un număr la care se ajunge întotdeauna, indiferent de ordinea în care se numără obiectele din mulțime. Această cantitate – un număr cardinal – este asociată mulțimii și rămâne invariantă în timpul procesului de numărare.

O identitate este o ecuație care rămâne adevărată pentru toate valorile variabilelor sale. Există și inegalități care rămân adevărate atunci când valorile variabilelor lor se modifică.

Distanța dintre două puncte de pe axa numerelor nu se modifică prin adunarea aceleiași cantități la ambele numere. Pe de altă parte, înmulțirea nu are această proprietate, distanța nu este invariantă la înmulțire.

Unghiurile și rapoartele distanțelor sunt invariante la scalări, rotații, translații și reflexii. Aceste transformări generează figuri asemenea, care stau la baza trigonometriei. În schimb, unghiurile și rapoartele nu sunt invariante la scalarea neuniformă (cum ar fi alungirea). Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi (180°) rămâne invariantă în urma tuturor operațiilor menționate anterior. Un alt exemplu este faptul că toate cercurile sunt asemenea: ele pot fi transformate unele în altele, iar raportul dintre circumferință și diametru este invariant (fiind notat cu litera grecească ).

Alte exemple: Partea reală și valoarea absolută a unui număr complex sunt invariante la conjugarea complexă. Gradul unui polinom este invariant la o schimbare liniară de variabile. Numărul punctelor fixe ale unui sistem dinamic este invariant la multe operații matematice. Punctele fixe ale unei transformări sunt elementele din domeniul de definiție care rămân invariante în urma transformării. În funcție de contextul transformării, acestea pot fi numite simetrice față de transformarea respectivă. De exemplu, obiectele cu simetrie de translație sunt invariante la anumite translații. Distanța euclidiană este invariantă la transformări ortogonale. Aria este invariantă la transformări liniare care au determinantul ±1. Valorile singulare ale unei matrice sunt invariante la transformări ortogonale. Invarianții principali ai tensorilor nu se modifică la rotația sistemului de coordonate (vezi Invarianți ai tensorilor). Măsura Lebesgue este invariantă la translații.

Mulțime invariantă O submulțime a domeniului al unei aplicații este o mulțime invariabilă față de aplicația elementele lui nu sunt neapărat fixe, chiar dacă mulțimea este fixată în lui . De exemplu, un cerc este o submulțime invariantă a planului în raport cu o rotație în jurul centrului cercului. De asemenea, o suprafață conică este invariantă ca mulțime în raport cu o omotetie a spațiului.

Se mai spune despre o mulțime invariantă față de o operație că este stabilă față de . De exemplu , atât de importante în teoria grupurilor, sunt acele subgrupuri care sunt stabile față de ale grupului în care sunt incluse. În algebra liniară dacă o transformare liniară are un vector propriu v, atunci dreapta care trece prin 0 și v este o mulțime invariantă față de , caz în care vectorii proprii generează un subspațiu invariant care este stabil față de .

Atunci când este o deplasare elicoidală, axa elicei este o dreaptă invariantă, deși, dacă pasul elicei este nenul, nu are puncte fixe.

În teoria probabilităților și în de obicei mulțimile invariante sunt definite prin intermediul proprietății mai tari Când aplicația este măsurabilă, mulțimile invariante formează o sigma-algebră, .

Note

Bibliografie

Vezi și Invariant (fizică) Constantă matematică

Legături externe "Applet: Visual Invariants in Sorting Algorithms" by William Braynen in 1997

Categorie:Terminologie matematică