Algebra booleană, numită și logica booleană, este un subdomeniu al matematicii și logicii în care operațiile formale ale gândirii - obiectul de studiu al logicii clasice - sunt studiate cu ajutorul metodelor simbolice. Denumirea aceasta a fost dată în onoarea matematicianului englez George Boole, care în lucrarea The Laws of Thought („Legile gândirii”), publicată în 1853, a pus bazele acestei algebre.

Algebra booleană este formată din: elementele {0,1}; 2 operații binare numite SAU și ȘI, notate simbolic cu + sau Ú și × sau U; 1 operație unară numită NU (negație), notată simbolic 0 sau O.

Operații Operațiile se definesc astfel: ȘISAUNU 0 × 0 = 0 0 + 0 = 0 0 = 1 0 × 1 = 0 0 + 1 = 1 1 = 0 1 × 0 = 0 1 + 0 = 1 1 × 1 = 1 1 + 1 = 1

Axiome

Axiomele algebrei booleene sunt următoarele:

Fie o mulțime M compusă din elementele x1, x2,...xn, împreună cu operațiile × și +. Această mulțime formează o structură algebrică dacă:

Mulțimea M conține cel puțin 2 elemente distincte x1, x2 (x1, x2I M);

Pentru x1 I M, x2 I M avem:

x1 + x2 I M și x1 × x2 I M

Proprietăți Operațiile × și + au următoarele proprietăți:

comutativitate

x1 × x2 = x2 × x1

x1 + x2 = x2 + x1

asociativitate

x1 × (x2 × x3) = (x1 × x2) × x3

x1 + (x2 + x3) = (x1 + x2) + x3

distributivitate una față de cealaltă

x1 × (x2 + x3) = x1 × x2 + x1 × x3

x1 + (x2 × x3) = (x1 + x2) × (x1 + x3)

existența câte unui element neutru cu proprietatea:

x1 + 0 = 0 + x1 = x1

x1 × 1 = 1 × x1 = x1

unde 0 este elementul nul al mulțimii, iar 1 este elementul unitate al mulțimii. Dacă mulțimea M nu conține decât două elemente, acestea trebuie să fie obligatoriu elementul nul 0 și elementul unitate 1; atunci pentru " x I M există un element unic notat cu x, cu proprietățile:

x × x = 0 principiul noncontradicției

x + x = 1 principiul terțului exclus

x este inversul elementului x.

Notații În definirea axiomatică a algebrei booleene s-au folosit diferite notații. In tabelul următor se dau denumirile și notațiile specifice folosite pentru diverse domenii (matematică, logică, tehnică).

Prima lege de compoziție

x1 + x2

Disjuncție logică

x1 Ú x2

SAU

x1 + x2

A doua lege de compoziție

x1 × x2

Conjuncție logică

x1 U x2

SI

x1 × x2

Elementul invers

x

Negație

Ox

NU

x

Vezi și Boolean (tip de date) Intersecție (teoria mulțimilor) Reuniune (matematică) Partiție (matematică) Produs cartezian Sistem binar Logică binară Valoare de adevăr

Bibliografie Crăciun, D., Logică și teoria argumentării, Editura Tehnică, București, 2000.

Legături externe