Полугеодезические координаты или геодезические нормальные координаты ― координаты в -мерном римановом многообразии, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие , являются геодезическими, на которых играет роль натурального параметра, а координатные поверхности ― ортогональны этим геодезическим.
В полугеодезических координатах первая квадратичная форма имеет видEncyclopedia of Mathematics
то есть и при всех .
Примеры Декартовы координаты на евклидовом пространстве являются полугеодезическими.
Пространство Лобачевского допускает полугеодезические координаты с метрическим тензором
Иначе говоря, -мерное пространство Лобачевского изометрично искривлённому произведению .
Свойства Полугеодезические координаты можно ввести в достаточно малой окрестности любой точки любого риманова многообразия.
Любое полное одновязное многообразие неположительной кривизны допускает глобальные полугеодезические координаты с первой координатой равной функции Буземана.
В случае двумерной поверхности (многообразия) первая квадратичная форма в полугеодезических координатах имеет вид
с положительной функцией , при этом гауссова кривизна поверхности вычисляется по формуле
Литература Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии, М.: Наука, 1981. W. Klingenberg. Riemannian geometry, de Gruyter (1982). W. Klingenberg. A course in differential geometry, Springer (1983). B. O'Neill. Semi-Riemannian geometry (with applications to relativity), Acad. Press (1983).
Ссылки
Encyclopedia of Mathematics
Примечания
Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия