Пробле́мы Ги́льберта — список из 23 математических задач, представленный Давидом Гильбертом на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Полный список из 23 задач был опубликован позже, в частности, в переводе на английский язык в 1902 году Мэри Фрэнсис Уинстон Ньюсон в Bulletin of the American Mathematical Society Earlier publications (in the original German) appeared in and . Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление) не были решены. Некоторые из них оказали большое влияние на математику XX века.
На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.
С 1900 года математики и математические организации объявляли списки проблем, но, за редким исключением, эти сборники не оказали почти такого же влияния и не произвели столько работы, сколько проблемы Гильберта. Одно из исключений представлено тремя гипотезами, высказанными Андре Вейлем в конце 1940-х годов (гипотезы Вейля). Пал Эрдёш составил список из сотни, если не тысячи математических задач, многие из которых глубокие. Эрдёш часто предлагал денежные вознаграждения; размер вознаграждения зависел от предполагаемой сложности задачи.
Список проблем № Статус Краткая формулировка Результат Год решения1решенаРезультаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречат системе аксиом Цермело — Френкеля (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).Проблема Кантора о мощности континуума (континуум-гипотеза)Доказано, что проблема неразрешима в ZFC. Нет единого мнения относительно того, является ли это решением проблемы1940, 19632нет консенсусаКурт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость арифметики, используя примитивно рекурсивную арифметику с дополнительной аксиомой для трансфинитной индукции до ординала ε0.Непротиворечивость аксиом арифметикиТребует уточнения формулировки3решенаРавносоставленность равновеликих многогранниковОпровергнута19004слишком расплывчатаяПеречислить метрики, в которых прямые являются геодезическимиТребует уточнения формулировкиСогласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.5решенаВсе ли непрерывные группы являются группами Ли?Да19536частично решенаL. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.Математическое исследование аксиом физикиЗависит от интерпретации исходной постановки проблемыБолее того, решение проблемы о получении динамики континуума из атомистического описания может быть отрицательным: Marshall Slemrod, Hilbert’s sixth problem and the failure of the Boltzmann to Euler limit, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, 7решенаЯвляется ли число трансцендентным (или хотя бы иррациональным)Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если a ≠ 0, 1 — алгебраическое число, и b — алгебраическое иррациональное, то ab — трансцендентное число</td>Да19348не решена, но есть прогрессПроблема № 8 содержит две известные проблемы, первая из которых не решена совсем, а вторая решена частично. Первая из них, гипотеза Римана, является одной из семи Проблем тысячелетия, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.Проблема простых чисел (гипотеза Римана и проблема Гольдбаха)Доказана тернарная гипотеза ГольдбахаMajor arcs for Goldbach’s theorem , H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913.9частично решенаПроблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом полеДоказана для абелевого случая10решенаЮрий Матиясевич в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.Есть ли универсальный алгоритм решения диофантовых уравнений?Нет197011частично решенаИсследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами12не решенаРаспространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности13решенаМожно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных?Да195714решенаДоказательство конечной порождённости алгебры инвариантов линейной алгебраической группыУтверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для произвольных действий редуктивных групп на аффинных алгебраических многообразиях. Нагата в 1958 году построил пример линейного действия унипотентной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.Опровергнута195915частично решенаСтрогое обоснование исчислительной геометрии Шуберта16частично решенаПервая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно , и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача решена до степени включительно, а для степени довольно много известно. Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.Топология алгебраических кривых и поверхностейПриведён перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» . Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из английского перевода текста анонса ), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.17решенаПредставимы ли определённые формы в виде суммы квадратов?Да192718решенаBieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х. Конечно ли число кристаллографических групп? (a) Существуют ли нерегулярные заполнения пространства конгруэнтными многогранниками? (b) Являются ли гексагональная и кубическая гранецентрированная упаковки шаров наиболее плотными? (c) Да Да Да 1911 (а)1928 (b)1998 (c)19решенаВсегда ли решения регулярной вариационной задачи Лагранжа являются аналитическими?Да195720решенаЯнг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. — М., Мир, 1974MacShane Generalized curves. Duke math. J., 6 (1940), 513—536Гамкрелидзе Р. В. О скользящих оптимальных режимах // ДАН СССР, 143 (1962), 1243—1245Все ли регулярные вариационные задачи с определёнными граничными условиями имеют решения, если в случае необходимости самому понятию решения придать расширенное толкование?Да1937—196221решенаДоказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромииСуществуют или нет, зависит от более точных формулировок задачи199222частично решенаУниформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций23не решена, но есть прогрессРазвитие методов вариационного исчисленияТребует уточнения формулировки
24-я проблема Основная статья: 24-я проблема Гильберта Изначально список содержал 24 проблемы, но в процессе подготовки к докладу Гильберт отказался от одной из них. Эта проблема была связана с теорией доказательств критерия простоты и общих методов. Данная проблема была обнаружена в заметках Гильберта немецким историком науки Рюдигером Тиле в 2000 годуHilbert’s twenty-fourth problem . Rüdiger Thiele, American Mathematical Monthly, January 2003..
Другие знаменитые списки проблем
Спустя ровно сто лет после оглашения списка Гильберта американский математик Стивен Смейл предложил новый список современных нерешённых проблем (часть из них уже решены). Проблемы Смейла не получили большого внимания со стороны средств массовой информации, и неясно, насколько серьёзное внимание они получают от математического сообщества. Свой список обнародовал Математический институт Клэя. Каждая проблема премии включает в себя награду в миллион долларов. В 2008 году Управление перспективных исследовательских проектов Министерства обороны США объявила о своём собственном списке из 23 проблем, которые, как она надеялась, могут привести к крупным математическим прорывам, «тем самым укрепив научно-технические возможности Министерства обороны США».
Примечания
Литература
Ссылки Оригинальный текст на немецком доклада Гильберта Русский перевод доклада Гильберта (вводная часть и заключение)
Гильберта Категория:История математики Гильберта