Йорданова алгебра — неассоциативная алгебра над полем, умножение в которой коммутативно и удовлетворяет тождеству Йордана: .

Произведение двух элементов и в йордановой алгебре часто обозначается , в частности, чтобы избежать путаницы с произведением связанной ассоциативной алгебры.

Из аксиом следует, что умножение обладает свойством степенной ассоциативности, то есть не зависит от расстановки скобок, а также, что для всех положительных целых чисел и . Ассоциативная алгебра является йордановой тогда и только тогда, когда она коммутативна.

Введены Паскуалем Йорданом в 1933 году в попытке формализовать понятие алгебры наблюдаемых величин в квантовой электродинамике. Вскоре было показана их неприменимость для этих целей, однако с тех пор они нашли множество других применений в математике. Первоначально эти алгебры назывались «r-числовыми системами», но были переименованы в «йордановы алгебры» Албертом (1946), который начал систематическое изучение общих йордановых алгебр.

Специальные йордановы алгебры Для любой ассоциативной алгебры характеристики, отличной от 2, можно построить йорданову алгебру , заменив умножение на йорданово произведение, определяемое как .

Таким образом введённые йордановы алгебры и их подалгебры называются специальными йордановыми алгебрами, а все остальные — исключительными йордановыми алгебрами. Конструкция аналогична алгебре Ли, связанной с , произведение в которой — скобка Ли — определяется коммутатором .

Теорема Ширшова — Кона утверждает, что любая йорданова алгебра с двумя образующими является специальной</ref>. Теорема Макдональда: любой многочлен от трёх переменных, имеющий степень один по одной из переменных и обращающийся в нуль в каждой специальной йордановой алгебре, обращается в нуль и в каждой йордановой алгебре.

Если  — ассоциативная алгебра с инволюцией , то, в связи с тем, что , множество всех элементов, фиксируемых инволюцией (иногда называемых эрмитовыми элементами), образуют подалгебру алгебры , которую иногда обозначают как и называют эрмитовой йордановой алгеброй.

Примеры Множество самосопряженных действительных, комплексных или кватернионных матриц с умножением образуют специальную йорданову алгебру.

Набор самосопряжённых матриц 3×3 над октонионами с умножением  — 27-мерная исключительная йорданова алгебра (, поскольку октонионы неассоциативны). Это был первый пример алгебры Алберта. Её группа автоморфизмов — исключительная группа Ли . Является единственной простой исключительной йордановой алгеброй над комплексными числами. Над вещественными числами существует три изоморфных класса простых исключительных йордановых алгебр.

Дифференцирования и структурная алгебра Дифференцирование йордановой алгебры  — эндоморфизм алгебры такой, что . Дифференцирования образуют алгебру Ли . Из тождества Йордана следует, что если и  — элементы алгебры , то эндоморфизм, переводящий в , является дифференцированием. Таким образом, прямую сумму алгебр и можно преобразовать в алгебру Ли, называемую структурной алгеброй алгебры  — .

Простым примером служат эрмитовы йордановы алгебры ; в этом случае любой элемент алгебры с условием определяет дифференцирование. Во многих важных примерах структурная алгебра алгебры  — это .

Алгебры дифференцирования и структурные алгебры входят в конструкцию .

Формально действительные йордановы алгебры Алгебра (возможно, неассоциативная) над действительными числами называется формально действительной, если она удовлетворяет свойству, согласно которому сумма квадратов может обратиться в нуль только при обращении в нуль каждого из них по отдельности. В 1932 году Йордан попытался аксиоматизировать квантовую теорию, предположив, что алгебра наблюдаемых любой квантовой системы должна быть формально действительной алгеброй, которая является коммутативной и степенно-ассоциативной, и доказал, что любая такая алгебра является йордановой.

Не каждая йорданова алгебра формально вещественна, но в 1934 году Йордан совместно с фон Нейманом и Вигнером классифицировали конечномерные формально вещественные йордановы алгебры, также называемые евклидовыми йордановыми алгебрами. Любая формально вещественная йорданова алгебра может быть представлена в виде прямой суммы так называемых простых йордановых алгебр, которые сами по себе не являются прямыми суммами. В конечных размерностях простые формально вещественные йордановы алгебры делятся на следующие бесконечные семейства: йордановы алгебры самосопряжённых вещественных, комплексных и кватернионных матриц размера ; йордановы алгебры типа Клиффорда — свободно порождённые с соотношениями (скалярное произведение); йордановы алгебры самосопряженных октонионных матриц 3×3 (исключительная йорданова алгебра — алгеброй Алберта).

Разложение Пирса Если  — идемпотент в йордановой алгебре и операция  — операция умножения на (то есть ), то , поэтому собственные значения  — . Если йорданова алгебра конечномерна над полем характеристики, отличной от 2, это означает, что она является прямой суммой трёх собственных подпространств: . Это разложение было впервые рассмотрено Йорданом, фон Нейманом и Вигнером для вполне вещественных йордановых алгебр; позднее оно было изучено в общем случае Албертом и названо разложением Пирса для относительно идемпотента .

Специальные виды и обобщения

Бесконечномерные йордановы алгебры В 1979 году Ефим Зельманов классифицировал бесконечномерные простые (и первичные невырождённые) йордановы алгебры, выделив два подкласса — эрмитового и клиффордова типа. В частности, единственными исключительными простыми йордановыми алгебрами являются конечномерные алгебры Алберта, имеющие размерность 27.

Йордановы операторные алгебры

Теория операторных алгебр была расширена и охватила йордановы операторные алгебры.

Аналогами -алгебр являются -алгебры, которые в конечных размерностях называются евклидовыми йордановыми алгебрами. Норма на вещественной йордановой алгебре должна быть полной и удовлетворять аксиомам:

.

Эти аксиомы гарантируют формальную вещественность йордановой алгебры, так что если сумма квадратов членов равна нулю, то и сами члены должны быть равны нулю. Комплексификации йордановых -алгебр или -алгебр. Они широко используются в комплексной геометрии для расширения йордановой алгебраической трактовки Кёхера ограниченных симметричных областей на бесконечномерный случай. Не все йордановы алгебры могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, точно так же, как в конечных измерениях. Исключительная алгебра Алберта является общим препятствием.

Йордановым аналогом алгебр фон Неймана являются -алгебры — -алгебры, которые, как банаховы пространства, являются дуальными пространствами банаховых пространств. Большая часть структурной теории алгебр фон Неймана может быть перенесена на -алгебры, в частности, факторалгебры -алгебр — те, центр которых приведён к  — полностью понятны в терминах алгебр фон Неймана. За исключением исключительной алгебры Алберта, все факторалгебры -алгебр могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве, замкнутом в слабой операторной топологии. Из них спиновые факторы могут быть очень просто построены из вещественных гильбертовых пространств. Все остальные факторы -алгебр являются либо самосопряженной частью фактора фон Неймана, либо его подалгеброй неподвижных точек относительно периода 2*-антиавтоморфизма фактора фон Неймана.

Йордановы кольца

Йорданово кольцо — обобщение йордановых алгебр, требующее лишь, чтобы йорданово кольцо было над общим кольцом, а не над полем. В качестве альтернативы йорданово кольцо можно определить как коммутативное неассоциативное кольцо, сохраняющее тождество Йордана.

Йордановы супералгебры

Йордановы супералгебры были введены Кацем, Кантором и Капланским как -градуированные алгебры , где является йордановой алгеброй и имеет произведение лиева типа со значениями в .

Любой -градуированная ассоциативная алгебра становится йордановой супералгеброй относительно градуированной йордановой скобки: .

Йордановы простые супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 были классифицированы Кацем в 1977 году, они включают несколько семейств и некоторые исключительные алгебры, в частности и .

J-структуры

Понятие -структуры было введено для разработки теории йордановых алгебр с использованием линейных алгебраических групп и аксиом, где инверсия Йордана является базовой операцией, а тождество Хуа — базовым отношением. В характеристике, отличной от 2, теория -структур по сути совпадает с теорией йордановых алгебр.

Квадратичные йордановы алгебры

Квадратичные йордановы алгебры являются обобщением (линейных) йордановых алгебр, введённых Маккриммоном. Фундаментальные тождества квадратичного представления линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Существует единообразное описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, не зависящее от характеристики: в характеристике, отличной от 2, теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр.

См. также Алгебра Фрейденталя Тройная йорданова система Йорданова пара Конструкция Кантора — Кёхера — Титса

Примечания

Литература

Ссылки Йорданова алгебра в PlanetMath Алгебры Йордана — Банаха и Йордана — Ли на PlanetMath

Категория:Неассоциативные алгебры Категория:Википедия:Страницы с непроверенными переводами