Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть и — произвольные множества, а — совокупность всех подмножеств множества Многозначным отображением из множества в называется всякое отображение Обычно областью определения многозначного отображения является подмножество , а областью значений — пространство состоящее из непустых компактных подмножеств множества то есть
Пример 1. Пусть . Ставя в соответствие каждому значению отрезок мы получаем многозначное отображение
Пример 2. Пусть — непрерывная функция. Положим и Ставя в соответствие каждому значению множество мы получаем многозначное отображение
Пример 3. Контингенция и паратингенция.
Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.
Связанные определения и свойства Пространство является метрическим с метрикой Хаусдорфа. Это позволяет ввести понятие непрерывного многозначного отображения. Рассматривая для каждого опорную функцию множества мы получим вещественнозначную функцию от двух аргументов: и , где звёздочка означает сопряжённое пространство. Многозначное отображение непрерывно тогда и только тогда, когда его опорная функция непрерывна по переменной для каждого фиксированного . Многозначное отображение называется измеримым, если его опорная функция измерима по переменной для каждого фиксированного . Однозначной ветвью или селектором многозначного отображения называется такая функция что для любого Лемма Филиппова: у любого измеримого многозначного отображения существует измеримый селектор. Лемма Филиппова имеет многочисленные приложения. В частности, она позволяет установить существование оптимального управления для широкого класса задач в теории управляемых систем. Многозначное отображение называется полунепрерывным сверху (по включению) в точке , если для любой окрестности множества (обозначим её ) существует такая окрестность точки (обозначим её ), что для любого Многозначное отображение называется полунепрерывным сверху (по включению), если оно является полунепрерывным сверху в каждой точке Непрерывное многозначное отображение (определение с помощью метрики Хаусдорфа) является полунепрерывным сверху. Теорема Какутани: Пусть — непустое, компактное, выпуклое подмножество и многозначное отображение имеет своими значениями компактные, выпуклые множества и является полунепрерывным сверху по включению. Тогда отображение имеет неподвижную точку то есть Теорема Какутани имеет многочисленные приложения в теории игр. В частности, с её помощью легко получается доказательство фундаментального результата теории игр — теоремы Нэша о существовании равновесия в бескоалиционной игре.
См. также Многозначная функция Дифференциальное включение
Литература Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание. Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985). Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, — Наука, Москва, 1980. Воробьёв Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры, — Наука, Москва, 1984.
Категория:Теория множеств Категория:Математический анализ
Категория:Общие понятия о функциях