Фёдор Алексеевич Богомолов (род. 26 сентября 1946, Москва) — советский и американский , известный своими работами по алгебраической геометрии и теории чисел.
Профессор Института Куранта Нью-Йоркского университета, доктор физико-математических наук. Член НАН США (2022).
Биография Родился 26 сентября 1946 года в Москве. Сын радиотехника академика Алексея Фёдоровича Богомолова и брат известного русского писателя Андрея Алексеевича Молчанова.
В 1970 году окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.
С 1970 года по 1973 год — аспирант Математического института им. В. А. Стеклова (научный руководитель — С. П. Новиков), в 1974 году защитил кандидатскую диссертацию. С 1973 — научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова. Доктор физико-математических наук (1983).
В 1994 году эмигрировал в США, где стал профессором Математического института Куранта в Нью-Йорке.
С ноября 2010 года — научный руководитель Лаборатории алгебраической геометрии и её приложений факультета математики Высшей школы экономики в Москве.
Ф. А. Богомолов — приглашенный докладчик на многих международных научных конференциях. С 2009 года по 2014 год — «Central European Journal of Mathematics» (Open Math.), был членом редколлегии журнала «Geometric and Functional Analysis».
Член Попечительского совета Institute for Geometry and Physics Miami-Cinvestav-Campinas, Collaboration in the Americas in Geometry and Physics.
Научные достижения Первая статья, опубликованная в 1969 году, была посвящена топологии. В начале 70-х годов Богомолов начинает исследования в области алгебраической геометрии.
Богомолов является широко цитируемым математиком, работающим в области алгебраической геометрии; его исследования по многообразиям Калаби-Яу, гиперкэлеровым многообразиям, теории алгебраических поверхностей, стабильным векторным расслоениям, арифметической алгебраической геометрии лежат в основе современной алгебраической геометрии и её пересечений с теоретической физикой (теорией струн).
Ф. А. Богомолову принадлежит целый ряд сильных результатов, определяющих развитие алгебраической геометрии. Он автор более 100 научных статей по математике.
Работы, лежащие в основании гиперкэлеровой геометрии В 1973 и 1974 годах Богомолов опубликовал серию статейФ. А. Богомолов, «О многообразиях с тривиальным каноническим классом», УМН, 28:6(174) (1973), 193—194Ф. А. Богомолов, «Кэлеровы многообразия с тривиальным каноническим классом», Изв. АН СССР. Сер. матем., 38:1 (1974), 11-21Ф. А. Богомолов, «О разложении кэлеровых многообразий с тривиальным каноническим классом», Матем. сб., 93(135):4 (1974), 573—575, в которых дал геометрическое доказательство теоремы о разложении компактных кэлеровых многообразий с тривиальным каноническим расслоением, усовершенствовав результат Калаби, доказанный только в предположении гипотезы его имени. Доказательство оказалось неполным, и после решения Яу гипотезы Калаби теорема Богомолова о разложении была передоказана в духе Калаби (доказательство опубликовано Бовилем). Вместе с тем, геометрические идеи Богомолова, связанные с теорией алгебраических слоений, оказались плодотворными при дальнейших исследованиях в этом направлении.
В отличие от результата Калаби, в теореме Богомолова о разложении имеются не два, а три класса «элементарных» многообразий с тривиальным каноническим классом: устойчиво алгебраические (в современной терминологии — строгие многообразия Калаби — Яу) и примитивно гамильтоновы (в современной терминологии — неприводимо голоморфно симплектические многообразия, или гиперкэлеровы многообразия). В 1978 году Богомолов опубликовал статью Гамильтоновы кэлеровы многообразия, содержавшую доказательство гипотезы А. Н. Тюрина, согласно которой всякое неприводимо голоморфно симплектическое многообразие является K3-поверхностью.Ф. А. Богомолов, «Гамильтоновы кэлеровы многообразия», Докл. АН СССР, 243:5 (1978), 1101—1104 Этот результат оказался ошибочным: через четыре года Фуджики и Бовиль показали, что схема Гильберта точек на K3-поверхности и обобщённое куммерово многообразие абелевой поверхности являются неприводимо гомолорфно симплектическими.
Вместе с тем, в этой статье в качестве леммы доказана теорема Богомолова — Тиана — Тодорова для голоморфно симплектических многообразий, утверждающая, что всякая деформация первого порядка у гиперкэлерова многообразия продолжается до аналитической деформации. Там же Богомолов заметил, что эта теорема может быть доказана и для многообразий Калаби — Яу, что было сделано им в IHES-овском препринте 1981 года. Ныне эта теорема лежит в основании физической теории зеркальной симметрии. В той же статье Гамильтоновы кэлеровы многообразия показано существование квадратичной формы на вторых когомологиях всякого гиперкэлерова многообразия, в случае K3-поверхности совпадающей с формой пересечения. Ныне она носит название формы Бовиля — Богомолова, и является отправной точкой для исследования алгебр когомологий компактных гиперкэлеровых многообразий, предпринятого Вербицким и увенчавшегося доказательством глобальной теоремы Торелли для гиперкэлеровых многообразий.
В 1996 году Богомолов описал построенные Гуаном примеры некэлеровых голоморфно симплектических многообразий как схемы Гильберта точек на поверхности Кодайры — Тёрстона.F. A. Bogomolov, «On Guan’s examples of simply connected non-Kähler compact complex manifolds», Amer. J. Math., 118:5 (1996), 1037—1046 Эти многообразия впоследствии получили название многообразий Богомолова — Гуана, они во многом схожи с гиперкэлеровыми многообразиями — в частности, допускают вариант формы Бовиля — Богомолова.
Работы Богомолова о голоморфно симплектических многообразиях, написанные во второй половине 2010-х годов, касаются в основном автоморфизмов гиперкэлеровых многообразий,Fedor Bogomolov, Ljudmila Kamenova, Steven Lu, Misha Verbitsky. On the Kobayashi pseudometric, complex automorphisms and hyperkaehler manifolds, 2016Fedor Bogomolov, Ljudmila Kamenova, Misha Verbitsky. Algebraically hyperbolic manifolds have finite automorphism groups , 2017Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov, Alexandra Kuznetsova, Egor Yasinsky. Geometry and automorphisms of non-Kähler holomorphic symplectic manifolds , 2020 и написаны в соавторстве с различными математиками (в том числе Вербицким и Каменовой). Отдельно стоит отметить статью Lagrangian fibrations for IHS fourfolds, написанную в сотрудничестве с Курносовым, в которой была решена гипотеза Мацушиты для четырёхмерных гиперкэлеровых многообразий, утверждающая отсутствие кратных слоёв у лагранжевых расслоений на них (откуда следует, что база такого расслоения есть ).Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov. Lagrangian fibrations for IHS fourfolds , 2018 Примерно в то же время эти результаты получили Хёйбрехтс и Сюй.Daniel Huybrechts, Chenyang Xu. Lagrangian fibrations of hyperkähler fourfolds , 2019
Слоения и голоморфные симметрические тензоры В статье 1977 года Семейства кривых на поверхности общего типаФ. А. Богомолов, «Семейства кривых на поверхности общего типа», Докл. АН СССР, 236:5 (1977), 1041—1044 Богомолов доказал, что на всякой поверхности общего типа с имеется лишь конечное число кривых ограниченного рода. Идеи этого доказательства, опирающиеся на рассмотрение голоморфных тензоров и слоений на таких поверхностях, были использованы более чем через 20 лет Макквилланом для доказательства гипотезы Грина — Гриффитса для таких поверхностей.
В более поздних работах, совместных с де Оливейрой, Богомолов вновь вернулся к изучению голоморфных симметрических тензоров на проективных многообразиях.Fedor Bogomolov, Bruno De Oliveira. Symmetric tensors and the geometry of subvarieties of , 2006Fedor Bogomolov, Bruno De Oliveira. Closed symmetric 2-differentials of the 1st kind, 2013Fedor Bogomolov, Bruno De Oliveira.Local structure of closed symmetric 2-differentials, 2014
Поверхности класса VII₀ В статье 1976 года Классификация поверхностей класса с Ф. А. Богомолов, «Классификация поверхностей класса с », Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:2 (1976), 273—288 Богомолов исследовал поверхности так называемого класса VII, некэлеровых поверхностей из классификации Кодайры — Энриквеса, классификация которых остаётся до сих пор незавершённой. Он доказал, что при условии некоторое конечное накрытие такой поверхности допускает голоморфное слоение, а потому является либо поверхностью Хопфа, либо поверхностью Инуэ. За вычетом теоремы Богомолова, единственный классификационный результат для поверхностей класса VII имеется для случая , получен он в 2005 году Телеманом.Andrei Teleman, Donaldson Theory on non-Kählerian surfaces and class VII surfaces with , Inventiones Mathematicae 162, 493—521, 2005.
В 2017 году в совместной работе с Буонербой и Курносовым Богомолов существенно упростил доказательство своего результата, опираясь на теорию групп.Federico Buonerba, Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov. Classifying surfaces with via group theory , 2017
Стабильные векторные расслоения Богомолов был в числе первых геометров, распространивших науку о стабильных векторных расслоениях на римановых поверхностях (то есть алгебраических кривых) на алгебраические многообразия большей размерности. На них понятие стабильности может быть определено по-разному; нестабильность по Богомолову для расслоения ранга два на алгебраической поверхности сводится к существованию конечного подмножества (быть может, пустого) и линейных расслоений таких, что имеется точная тройка пучков , и имеют место неравенства и для всякого обильного дивизора (аналогичное определение может быть введено и в случае расслоений большего ранга). Теорема Богомолова о нестабильности утверждает, что если имеет место неравенство на числа Черна , то расслоение нестабильно. В статье 1978 года Голоморфные тензоры и векторные расслоения на проективных многообразияхФ. А. Богомолов, «Голоморфные тензоры и векторные расслоения на проективных многообразиях», Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:6 (1978), 1227—1287 Богомолов вывел из этих соображений то, что ныне известно как неравенство Богомолова — Мияоки — Яу (с константой 4 вместо 3).
В этой статье также доказана следующая
Теорема. Пусть — проективное многообразие, и — когерентный подпучок ранга один. Тогда этого подпучка не превосходит . Более того, в случае равенства существует расслоение над -мерной базой такое, что .
Это обобщение классической теоремы Кастельнуово — де Франкиса, утверждающей, что если две голоморфные 1-формы на проективной поверхности умножаются нулём, то эта поверхность может быть отображена на кривую таким образом, что эти две формы будут подъёмами абелевых дифференциалов на этой кривой. Кампана ввёл на основании этой теоремы Богомолова понятие богомоловского подпучка, насыщенного когерентного подпучка ранга один в пучке голоморфных -форм на проективном многообразии, размерность Иитаки которого равняется . Многообразия, не допускающие богомоловских подпучков, называются специальными по Кампане. Они служат базовым строительным блоком в ещё не вполне завершённом проекте Кампаны по представлению всякого алгебраического многообразия как расслоения со слоями, специальными по Кампане, над орбиобразием общего типа. Предполагается, что свойство отсутствия богомоловских подпучков эквивалентно широкому спектру свойств, как геометрических (зануление псевдометрики Кобаяши), так и теоретико-числовых (для многообразий, определённых над подполем — плотность по Зариски точек, определённых над некоторым фиксированным конечным расширением ; эквивалентность потенциальной плотности занулению псевдометрики Кобаяши — вариант хорошо известной в арифметической геометрии гипотезы Ленга).Frédéric Campana. Special Varieties and classification Theory , 2001
Теория инвариантов и вопросы рациональности Одной из отправных точек исследований Богомолова в вопросах рациональности алгебраических многообразий является