Абсолютная непрерывность — свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона — Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. Это понятие переносится на меры с помощью производной Радона — Никодима.
Абсолютно непрерывные функции Функция называется абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией на конечном или бесконечном отрезке, если для любого найдётся такое , что для любого конечного набора попарно непересекающихся интервалов области определения функции , который удовлетворяет условию , выполнено неравенство .
Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное неверно.
Свойства
Всякая абсолютно непрерывная функция имеет на промежутках конечной длины ограниченную вариацию.
Абсолютно непрерывные функции образуют линейное пространство. Более того, они образуют замкнутое подпространство в пространстве функций ограниченной вариации.
Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.
Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.
Пусть абсолютно непрерывная функция на . Тогда она почти всюду дифференцируема; обобщённая производная интегрируема по Лебегу и для всех выполняется равенство: .
Обратно, функция, имеющая на интервале интегрируемую по Лебегу обобщённую производную, является абсолютно непрерывной на нём, с точностью до множества лебеговой меры ноль.
Если функция абсолютно непрерывна на отрезке и абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения , то для того, чтобы суперпозиция была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией (теорема Фихтенгольца).
Каждая абсолютно непрерывная функция обладает свойством Лузина. Вариация абсолютно непрерывной функции является абсолютно непрерывной. Пусть и абсолютно непрерывны на , тогда для них справедлива классическая формула интегрирования по частям. Пусть дифференцируема в каждой точке отрезка (важно! что именно в каждой точке), причем интегрируема на в смысле Лебега, тогда абсолютно непрерывна.
Примеры
Любая липшицева функция является абсолютно непрерывной.
Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными: функция Кантора; функция
на конечных интервалах, содержащих 0; функция на неограниченных интервалах.
См. также Свойство Лузина Теорема Фихтенгольца
Примечания
Литература
Категория:Математический анализ