Для любой функции , определённой на множестве , можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого . Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная
или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из длиной меньше . Также в литературе встречаются другие обозначения: и (реже) .
Свойства модуля непрерывности Введённая функция обладает рядом интересных свойств. При любом она неотрицательна. Функция не убывает. Функция полуаддитивна, если выпукло:
По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0:
Теорема о равномерной непрерывности может быть сформулирована следующим образом. Если функция определена на отрезке и непрерывна на нём, то , и наоборот. Данный предел обозначается также . Если непрерывна на , то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке .
Связанные понятия Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как: принадлежность классам Липшица и Гёльдера; гладкость; дифференцируемость; возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона — Стечкина) и многих других.
Вариации и обобщения
Модули непрерывности высших порядков Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции .
Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка , то получим определение модуля непрерывности порядка . Обычное обозначение для таких модулей — .
Свойства Если — целое число, то
Неклассические модули непрерывности Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.
Ссылки Модуль непрерывности и обобщенные пространства Гёльдера
Категория:Математический анализ Категория:Функции Категория:Теория приближений