Преобразование Хартли (Hartley transform) — интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, но в отличие от последнего трансформирует одни вещественные функции в другие вещественные же функции. Преобразование было предложено в качестве альтернативы преобразованию Фурье Р. Хартли в 1942 году. Преобразование Хартли является одним из многих известных типов преобразований Фурье. Преобразование Хартли может быть и обратным.
Дискретный вариант преобразования Хартли был представлен в 1983 году.
Определение
Прямое преобразование Преобразование Хартли рассчитывается по формуле
где — ядро Хартли.
Обратное преобразование Обратное преобразование получается по принципу инволюции:
Уточнения Вместо того, чтобы использовать одинаковые формулы для прямого и обратного преобразования, можно ввести коэффициент для обратного и вынести тот же коэффициент из прямого преобразования Хартли. Этот способ называется асимметричной нормализацией; Можно использовать коэффициент вместо , полностью опустив коэффициент ; Можно использовать вычитание косинуса и синуса вместо их суммы.
Связь с преобразованием Фурье Преобразование Хартли отличается от преобразования Фурье выбором ядра.
В преобразовании Фурье используется экспоненциальное ядро
где — мнимая единица.
Эти два преобразования тесно связаны, и если они имеют одинаковую нормализацию, то
Для вещественных функций преобразование Хартли превращается в комплексное преобразование Фурье:
где и — действительная и мнимая часть функции соответственно.
Свойства Преобразование Хартли — вещественный симметричный унитарный линейный оператор
Существует так же аналог теоремы свёртки: если две функции и имеют преобразования Хартли и соответственно, то их свёртка будет иметь преобразование
Как и преобразование Фурье, преобразование Хартли будет являться чётной или нечётной функцией в зависимости от характера преобразуемой функции.
Cas Свойства ядра Хартли вытекают из свойств тригонометрических функций. Так как
то и
Производная ядра равна
Литература РОНАЛЬД Н. БРЕЙСУЭЛЛ Преобразование Фурье Hartley, R. V. L., A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems , Proc. IRE 30, 144—150 (1942). Bracewell, R. N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986) (also translated into Japanese and Polish) Bracewell, R. N., The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (also translated into German and Russian) Bracewell, R. N., , Proc. IEEE 82 (3), 381—387 (1994). Millane, R. P., , Proc. IEEE 82 (3), 413—428 (1994). Villasenor, John D., , Proc. IEEE 82 (3), 391—399 (1994).
Категория:Интегральные преобразования