Простой идеал — собственный идеал коммутативного кольца такой, что из принадлежности ему произведения элементов следует, что либо , либо . Введён как естественное обобщение понятия простого числа: в кольце целых чисел каждый простой идеал имеет вид , где — простое число.
В некоммутативном случае идеал, удовлетворяющий этому определению, называется вполне простым идеалом. В коммутативном случае простой идеал является первичным идеалом и наоборот (из-за этого иногда эти понятия не различают), в общем случае первичный идеал может не являться вполне простым. Кроме того, в коммутативном случае простой идеал может быть определён как собственный идеал, факторкольцо по которому является областью целостности; в некоммутативном случае эти свойства неэквивалентны.
Понятие простого идеала играет важную роль в коммутативной алгебре, в частности, на его использовании основана локализация кольца, а также в алгебраической геометрии, в которой одну из центральных ролей играет спектр кольца — множество всех простых идеалов заданного кольца.
Максимальный идеал коммутативного кольца является простым; в кольце целых чисел все простые идеалы максимальны. Всякий простой идеал коммутативного кольца является примарным. Лемма Крулля: идеал коммутативного кольца с единицей, не пересекающийся с мультипликативной системой , может быть расширен до простого идеала , также не пересекающегося с системой . Теорема о радикале: пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал , совпадает с радикалом идеала .
В кольце многочленов от одной переменной каждый простой идеал имеет вид , где — неприводимый над многочлен. В кольце многочленов множество является простым идеалом.
Литература
Категория:Теория колец