Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у сжимающих отображений на полных метрических пространствах.
Установлена Стефаном Банахом в 1922 году, в доказательстве содержится конструктивный метод нахождения точки: для сжимающего отображения ей будет предел последовательности , где — произвольный элемент полного метрического пространства . Условие полноты существенно, поскольку гарантирует сходимость всякой фундаментальной последовательности, которой является за счёт того, что отображение — сжимающее. Единственность неподвижной точки также следует из того, что отображение сжимающее: если бы для двух точек и выполнялось бы и , то в связи с коэффициент Липшица отображения был бы равен или превышал 1.
Результат используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема применяется для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.
Литература
Категория:Функциональный анализ Категория:Метрическая геометрия Банаха о неподвижной точке