sličica|245x245_pik|Kocka, najbolj poznan pravilni polieder. Pravilni poliedri so poliedri, ki imajo skladna vsa oglišča, stranice in stranske ploskve. Definicij za pravilne poliedre je več, najstrožje dovoljujejo le 5 pravilnih poliedrov (Platonska telesa), medtem ko najbolj obširne dovoljujejo neskončno mnogo pravilnih poliedrov. Dandanes je najbolj popularna definicija, ki dovoljuje 9 pravilnih poliedrov, ter številne razširjene definicije, najbolj popularna dovoljuje 48 pravilnih poliedrov. Prve omembe poliedrov segajo že v 4. stoletje pred našim štetjem, ko je Platon opisal Platonska telesa. Kasneje je še Johannes Kepler odkril 2, katerima je nato v 19. stoletju našel duale Louis Pointsot. V dvajsetem stoletju so nato začeli iskati različne neskončne poliedre, katerih običajno ne vključimo v navadno definicijo pravilnih poliedrov.
Petrialni poliedri zaključenih pravilnih poliedrov so prav tako zaključeni, vendar običajno niso vključeni v strožje definicije, saj njihove stranske ploskve niso vključene v strožjo definicijo pravilnih mnogokotnikov. Ti imajo namreč stranske ploskve razporejene po tridimenzionalnem prostoru, temu rečemo, da so izkrivljene. Ti mnogokotniki imajo še vedno enako dolge stranice, vendar te ležijo na različnih ravninah.
Neskončni pravilni poliedri (pravilni apeiroedri) so različna tlakovanja. Najbolj poznana so planarna tlakovanja, obstaja pa tudi nekaj pravilnih neplanarnih apeiroedrov, tako imenovani “blended” (mešani) apeiroedri. Ti zaradi nezaključnosti prav tako niso vključeni v strožje definicije pravilnih poliedrov.
Pravilni poliedri do sedaj so vsi ”pravilni” v trorazsežnem evklidskem prostoru, poznamo pa tudi neskončno mnogo pravilnih poliedrov v sferičnem in hiperboličnem prostoru. Obstajajo tudi abstraktni poliedri, to so trorazsežna telesa, ki so pravilna le v več kot trirazsežnem prostoru.
Poliedre največkrat delimo po odkriteljih (Platonska telesa, Keplerjeva telesa …), obstajajo pa tudi druge delitve.
Definicije Obstaja veliko različnih definicij, ki dovoljujejo različno število pravilnih poliedrov. Vse definicije imajo naslednje omejitve:
vsi diederski koti poliedra morajo biti enaki vse slike oglišč so pravilni mnogokotniki (pri definicijah, ki zajemajo več poliedrov se štejejo tudi pravilni izkrivljeni mnogokotniki) vse stranice, oglišča in stranske ploskve so skladne.
Petrie-Coxeterjeva definicija Prva definicija Petrieja in Coxeterja je dovoljevala vse pravilne poliedre, ki so v 3D evklidskem prostoru s tem omejila pravilne poliedre na 48 različnih. S to definicijo jima je uspelo najti šest novih pravilnih poliedrov, ki predstavljajo osnovo za kasneje odkritih šest, ki tudi spadajo v definicijo. Ta definicija še vedno dovoljuje neskončno velike pravilne poliedre, ki jih nadaljnje definicije ne dovoljujejo več.
Definicija, ki omejuje zaključenost pravilnega poliedra Ta definicija za razliko od Petrie-Coxeterjeve definicije dovoljuje pravilne poliedre izven evklidskega prostora, vendar morajo biti poliedri zaključeni. Ta definicija ne dovoljuje tlakovanj, vendar dovoljuje še vedno neskončno mnogo pravilnih poliedrov. Definicija nima pravega imena in se bolj redko uporablja.
Standardna definicija To je največkrat uporabljena definicija in se običajno uporablja pri opisovanju pravilnih poliedrov. Definicija dovoljuje le zaključene pravilne poliedre znotraj 3D evklidskega prostora ter tako omejuje število na 9 pravilnih poliedrov, na platonska ter Kepler-Pointsotova telesa.
Schläflijeva definicija Ludwig Schläflij je zagovarjal, da morajo imeti vsi pravilni poliedri Eulerjevo karakteristiko 2, to pa imajo le platonska ter veliki zvezdni dodekaeder in veliki ikozaeder. Čeprav on sam ni štel niti Keplerjevih teles pod pravilne poliedre, so ti dovoljeni v tej definiciji.
Osnovnošolska definicija To definicijo se zaradi omejitve teles le na najpreprostejša pogosto uporablja v osnovnih šolah, vsekakor pa se ne pojavlja le tam. Definicija zahteva, da so pravilni poliedri zaključeni, so v evklidskem 3D prostoru ter so konveksni. S tem smo omejili pravilne poliedre le na 5 platonskih teles. Ta definicija se pogosto uporablja tudi med ljudmi, ki nimajo poglobljenega znanja v matematiki. Definicijo so uporabljali tudi stari Grki, saj še niso poznali drugih pravilnih poliedrov.
Označevanje
Za pravilne politope se najpogosteje uporablja označevanje s Schläflijevim simbolom. V treh dimenzijah mora imeti dve števili, ki se na splošno označita s p in q, torej Schläflijev simbol za nek polieder je {p, q}. V simbolu p predstavlja kateri mnogokotnik sestavlja pravilni polieder – polieder je torej iz p-kotnikov. Število q pa predstavlja koliko stranskih ploskev se stika v enem oglišču. Simbol {4, 3} torej pomeni, da je polieder sestavljen iz pravilnih štirikotnikov (kvadratov) in da se v vsakem oglišču stikajo trije kvadrati. Vendar se označevanje že pri standardni definiciji mora spremeniti, saj drugače bi prišlo do različnih poliedrov označenih enako. Problem predstavlja pentagram, saj je kot konveksni petkotnik, prav tako petkotnik. Za pentagram in dekagram se zato uporablja oznaka {p, }, kjer n predstvlja stopnjo stelacije. Nekateri petriali imajo prav tako enak Schläflijev simbol kot nekatera druga telesa, zato se pri njih poleg osnovnega simbola na koncu napiše še število mnogokotnika, ki je stranska ploskev petrialnega para, npr. Schläflijev simbol za petrialno kocko je {6, 3}4. To pomeni, da ima petrialna kocka za stranske ploskve šestkotnike in da se po trije stikajo na enem oglišču. Če bi zapisali samo {6, 3}, petrialne kocke ne bi bilo mogoče razločiti od šestkotnega tlakovanja, zato na koncu podpišemo še 4, saj ima petrialni par (navadna kocka) za osnovno ploskev pravilne štirikotnike (kvadrate). Pri petrialih se uporablja tudi zapis s simbolom petrialnega para in na koncu nadčrtamo π, npr. {4, 3}π. Pri Petrie-Coxeterjevih poliedrih je potrebno tudi napisati obliko lukenj, ki nastopajo med stranskimi ploskvami. Splošen simbol je {p1, q|p2}. Število p1 predstavlja p-kotnik stranske ploskve, p2 pa p-kotnik luknje med stranskimi ploskvami. Naslednja posebnost je pri “blended” apeiroedrih, saj moramo nakazati ali “blendamo” s segmentom ali z apeiroedrom. Prav tako p in q nista od stranske ploskve, temveč od stranske ploskve tlakovanja iz katerega izhaja. Posebnost zase je še izkrivljeni muoktaeder, katerega zapis je {∞, 4}·,∗3, kjer∗ stoji pred številom, ki predstavlja obliko luknje ali cikcaka dualnega para. S · smo zamenjali ∞ da nakažemo, da je vrednost nedoločena.
Platonska telesa
sličica|411x411_pik|Igralne kocke v obliki platonskih teles Najbolj poznani pravilni poliedri so platonska telesa, ter so edini poliedri, ki upoštevajo vse definicije. Platonska telesa so osnova za vse zaključene poliedre v evklidskem 3D prostoru. Poznali so jih že v starih civilizacijah, prvi zapis o njih pa je nastal okoli leta 360 pred našim štetjem, ko jih je opisal Platon. Platonskih teles je pet, kot stranske ploskve pa imajo trikotnike, kvadrate ali petkotnike. Vsi so konveksni in zaključeni. Vsi imajo dualne pare (tetraeder je sam sebi dualni par) in petrialne pare. Glavne tri simetrije – tetraederska, oktaederska in ikozaederska – so poimenovane po platonskih telesih.
Platonskim telesom se lahko določi včrtane, vmesne in očrtane sfere. Vsa telesa imajo tudi eulerjevo karkteristiko 2.
{| class="wikitable" ! !Tetraeder !Heksaeder (kocka) !Oktaeder !Dodekaeder !Ikozaeder |- align="center" |slika |100px |100px |100px |100px |100px |- align=center |animacija |brezokvirja|100x100_pik |brezokvirja|100x100_pik |brezokvirja|100x100_pik |brezokvirja|100x100_pik |brezokvirja|100x100_pik |- align=center |3D model |brezokvirja|178x178_pik |brezokvirja|178x178_pik |brezokvirja|178x178_pik |brezokvirja|178x178_pik |brezokvirja|178x178_pik |- align="center" |mreža |brezokvirja|100x100_pik |brezokvirja|100x100_pik |brezokvirja|100x100_pik |brezokvirja|100x100_pik |brezokvirja|100x100_pik |- align="center" |Schläflijev simbol |{3, 3}||{4, 3}||{3, 4}||{5, 3}||{3, 5} |- align=center |osnovna ploskev |trikotnik |kvadrat |trikotnik |petkotnik |trikotnik |- align=center |št. stranskih ploskev |4 |6 |8 |12 |20 |- align=center |št. oglišč |4 |8 |6 |20 |12 |- align=center |št. robov |6 |12 |12 |30 |30 |- align=center |simetrija |tetraederska |oktaederska |oktaederska |ikozaederska |ikozaederska |- align=center |dual |sam sebi |oktaeder |heksaeder |ikozaeder |dodekaeder
Dokazovanje platonskih teles Da je le pet različnih platonskih teles lahko dokažemo na več načinov.
Geometrijski dokaz Geometrijsko je dokazal že Evklid v svoji knjigi Elementi.
Da telo lahko obstaja mora imeti vsaj tri stranske ploskve, ki se stikajo v enem oglišču (q ≥ 3) ter za stransko ploskev enake pravilne mnogokotnike (p ≥ 3). V vsakem oglišču telesa mora biti med sosednjimi stranskimi ploskvami vsota kotov manjša od 360°, torej mora biti notranji kot mnogokotnika manjši od = 120° (tri-, štiri- ali petkotnik, saj šestkotnik ima kot 120°). Razlika med 360° in vsotami kotov istega oglišča se imenuje kotni primanjkljaj.
Pri trikotnikih imamo tri možne poliedre, saj se lahko na istem oglišču stikajo trije, štirje ali pet trikotnikov, ki tvorijo teraeder, oktaeder in ikozaeder. Šest jih že tvori kot 360° in tako tvorijo teselacijo in ne platonskega telesa. Pri kvadratih in petkotnikih je edina možnost s tremi liki na oglišče, saj štirje že tvorijo kot 360° oz. 432°. Mnogokotniki z več stranicami, kot 5 niso zmožni tvoriti platonskega telesa, saj če bi se trije stikali na istem oglišču kotnega primankljaja ne bi bilo ali bi bil kot večji od 360°. trije trikotnikištirje trikotnikipet trikotnikovšest trikotnikovtrije kvadratištirje kvadratitrije petkotnikitrije šestkotnikislikabrezokvirja|100x100_pikbrezokvirja|100x100_pikbrezokvirja|100x100_pikbrezokvirja|100x100_pikbrezokvirja|100x100_pikbrezokvirja|100x100_pikbrezokvirja|100x100_pikbrezokvirja|100x100_pikkot180°240°300°360°270°360°324°360°primanjkljaj180°120°60°90°36°telo{3, 3} tetraeder{3, 4} oktaeder{3, 5} ikozaederØ{4, 3} heksaederØ{5, 3} dodekaederØ V bistvu lahko le iz primankljaja ugotovimo število oglišč v platonskem telesu z uporabo Descartesovega izreka:
V enačbi V predstavlja število oglišč, q število mnogokotnikov okrog enega oglišča in α notranji kot enega mnogokotnika.
Topološki dokaz Topološki izraz izhaja iz dejstva da je Eulerjeva karakteristika pri vseh platonskih telesih 2:
Za vsa platonska telesa velja tudi naslednja enačba:
Če enačbi združimo, dobimo naslednjo enačbo:
To enačbo se zlahka poenostavi v naslednjo:
Število robov (E) je lahko le pozitivno, saj ne moremo imeti negativno število robov. Iz tega lahko dobimo naslednjo neenačbo:
Ker morata biti p in q naravni števili, večji od 3, dobimo 5 rešitev, ki se ujemajo s platonskimi telesi.
Kepler-Poinsotovi poliedri
Keplerjeve poliedre ter Pointsotove poliedre velikokrat združimo pod skupnim imenom Kepler-Pointsotovi poliedri, saj so dualni pari.
Keplerjeva poliedra je okoli leta 1619 odkril Johannes Kepler. Kot osnovni ploskvi imata pentagram, torej nista konveksna. Po začetku znanstvenega klasificiranja poliedrov pa je Louis Poinsot leta 1806 odkril še njuna duala. Tudi duala nista konveksna, čeprav sta iz trikotnikov in petkotnikov – konveksnih mnogokotnikov. Značilnost Kepler-Poinsotovih poliedrov je tudi ikozaedrska simetrija. Keplerjevi telesi lahko dobimo tudi z procesom facetiranja oz. stelacije. S facetiranjem ikozaedra dobimo veliki dodekaeder, s facetiranjem malega zvezdenga dodekaedra pa veliki ikozaeder:
{| class="wikitable" ! !Mali zvezdni dodekaeder (mali stelirani dodekaeder) !Veliki dodekaeder !Veliki zvezdni dodekaeder (veliki stelirani dodekaeder) !Veliki ikozaeder |- align="center" |slika |100px |100px |100px |100px |- align="center" |animacija |brezokvirja|100x100_pik ||brezokvirja|100x100_pik ||brezokvirja|100x100_pik ||brezokvirja|100x100_pik |- align="center" |3D model |brezokvirja|178x178_pik