У математици, гама функција (означена са , велико слово грчког слова гама) је најчешће проширење функције факторијела на комплексне бројеве. Извео ју је Данијел Бернули, гама функција дефинисана је за све комплексне бројеве осим ненегативних целих бројева, а за сваки позитиван цео број . Гама функција се може дефинисати помоћу конвергентног неправог интеграла за комплексне бројеве са позитивним реалним делом:
Затим је гама функција дефинисана у комплексној равни као аналитичко настављање ове интегралне функције: то је мероморфна функција која је хоморфна свуда осим у нули и негативним целим бројевима, где има просте полове.
Гама функција нема нуле, па је реципрочна гама функција цела функција. Заправо, гама функција одговара Мелиновој трансформацији негативне експоненцијалне функције:
Постоје друга проширења функције факторијела, али је гама функција најпопуларнија и најупечатљивија. Појављује се као фактор у различитим функцијама расподеле вероватноће и другим формулама у областима вероватноће, статистике, аналитичке теорије бројева и комбинаторике.
Мотивација thumb|upright=1.65| интерполира функцију факторијела на нецеле вредности. Гама функција се може посматрати као решење интерполационог проблема проналажења глатке криве која повезује тачке низа факторијела: за све позитивне целе вредности . Једноставна формула за факторијел, важи само када је позитиван цео број, и ниједна елементарна функција нема ово својство, али је добро решење гама функција .
Гама функција није само глатка већ и аналитичка (осим у ненегативним целим бројевима), и може се дефинисати на више експлицитних начина. Међутим, није једина аналитичка функција која проширује факторијел, јер се може додати било која аналитичка функција која је нула на позитивним целим бројевима, као што је за цео број . Таква функција је позната као псеудогама функција, а најпознатија је Хадамардова функција.
thumb|upright=1.65|Гама функција, плава, приказана заједно са зелена. Обратите пажњу на пресек на позитивним целим бројевима. Обе су валидна проширења факторијела на мероморфну функцију у комплексној равни.
Рестриктивнији услов је функционална једначина која интерполира померити факторијел : Израз Г.2 на страни 293
Али ово још увек не даје јединствено решење, јер дозвољава множење са било којом периодичном функцијом са и , као што је .
Један начин да се реши двосмисленост је Бор-Молирупова теорема, која показује да је јединствена интерполирајућа функција за факторијел, дефинисана преко позитивних реалних бројева, која је логаритамски конвексна, што значи да је конвексна.
Дефиниција
Главна дефиниција Запис потиче од Лежандра. Ако је реални део комплексног броја строго позитиван (), тада интеграл
апсолутно конвергира, и познат је као Ојлеров интеграл друге врсте. (Ојлеров интеграл прве врсте је бета функција.) Користећи интеграцију по деловима, видимо да: alt=Апсолутна вредност (вертикална) и аргумент (боја) гама функције у комплексној равни|thumb|upright=1.65|Апсолутна вредност (вертикална) и аргумент (боја) гама функције у комплексној равни
Препознајући да ка ,
Тада може да се израчуна као:
Тако можемо показати да за сваки позитиван цео број помоћу индукције. Конкретно, основни случај је , а индукциони корак је .
Идентитет се може користити (или, дајући исти резултат, аналитичко настављање се може користити) да се јединствено прошири интегрална формулација за на мероморфну функцију дефинисану за све комплексне бројеве , осим целих бројева мањих или једнаких нули. Управо ова проширена верзија је она на коју се обично односи гама функција.
Алтернативне дефиниције Постоји много еквивалентних дефиниција.
Ојлерова дефиниција као бесконачни производ За фиксирани цео број , како цео број расте, имамо да
Ако није цео број онда је ова једначина бесмислена пошто, у овом одељку, факторијел нецелог броја није још дефинисан. Међутим, претпоставимо да ова једначина наставља да важи када се замени произвољним комплексним бројем , да би се дефинисала Гама функција за нецеле бројеве:
Множећи обе стране са даје Овај бесконачни производ, који припада Ојлеру, конвергира за све комплексне бројеве осим ненегативних целих бројева, који не успевају због дељења са нулом. Заправо, горе наведена претпоставка производи јединствену дефиницију као .
Интуитивно, ова формула показује да је приближно резултат израчунавања за неки велики цео број , множења са да би се приближила , и затим коришћења везе уназад пута да би се добила апроксимација за ; и даље, да та апроксимација постаје тачна када расте до бесконачности.
Бесконачни производ за реципрочну вредност
је цела функција, која конвергира за сваки комплексан број .
Вајерштрасова дефиниција Дефиниција за гама функцију коју је дао Вајерштрас је такође важећа за све комплексне бројеве осим ненегативних целих бројева:
где је Ојлер-Маскерониева константа. Ово је Хадамардов производ од у преписаној форми.
Еквивалентност интегралне дефиниције и Вајерштрасове дефиниције
Из интегралне дефиниције, релације и Хадамардове теореме о факторизацији,
за неке константе пошто је цела функција реда . Пошто ка , (или цео број умножен са ) и пошто ,
где је за неки цео број . Пошто за , имамо и
Еквивалентност Вајерштрасове дефиниције и Ојлерове дефиниције
Својства
Општа својства
Поред основног својства о коме се расправљало изнад:
друге важне функционалне једначине за гама функцију су Ојлерова рефлексиона формула
што имплицира
и Лежандрова формула дуплирања
Доказ 1
Са Ојлеровим бесконачним производом израчунајмо
где је последња једнакост познат резултат. Сличан извод почиње са Вајерштрасовом дефиницијом.
Доказ 2
Прво доказати да
Размотримо позитивно оријентисану правоугаону контуру са теменима на , , и где . Тада према теореми о остацима,
Нека
и нека буде аналогни интеграл преко горње стране правоугаоника. Тада ка и . Ако означава десну вертикалну страну правоугаоника, онда
за неку константу и пошто је , интеграл тежи ка ка . Аналогно, интеграл преко леве вертикалне стране правоугаоника тежи ка ка . Према томе
одакле
Затим
и
Доказивање рефлексионе формуле за све доказује је за све помоћу аналитичког наставка.
Бета функција се може представити као
Постављањем добијамо
После смене :
Функција је парна, према томе
Сада
Затим
Ово имплицира
Пошто
Лежандрова формула дуплирања следи:
Формула дуплирања је специјални случај теореме о множењу (видети Једн. 5.5.6):
Једноставно али корисна особина, која се може видети из граничне дефиниције, је:
Посебно, са , овај производ је
Ако је реални део цео број или полуцео, ово може бити коначно изражено у затвореној форми:
Прво, размотримо рефлексиону формулу примењену на .
Примењујући рекурентну релацију на други члан:
што са једноставним преуређивањем даје
Друго, размотримо рефлексиону формулу примену на .
Формуле за друге вредности за које је реални део цео или полуцео брзо следе индукцијом користећи рекурентну релацију у позитивним и негативним смеровима.
Можда најпознатија вредност гама функције на нецелобројном аргументу је
коју се може наћи постављањем у рефлексионој формули, коришћењем везе са бета функцијом датом испод са , или једноставно заменом у интегралној дефиницији гама функције, што резултира Гаусовим интегралом. Генерално, за ненегативне целе вредности имамо:
где је дупли факторијел . Види Посебне вредности гама функције за израчунате вредности.
Може бити примамљиво уопштити резултат да тражећи формулу за друге појединачне вредности где је рационалан, посебно зато што је према Гаусовој теореми дигама функције могуће то учинити за блиску везану дигама функцију на свакој рационалној вредности. Међутим, ови бројеви нису познати да су изразиви сами по себи помоћу елементарних функција. Доказано је да је трансцендентан број и алгебарски независан од за сваки цео број и сваки од разломака . Уопштено, када израчунавамо вредности гама функције, морамо се задовољити нумеричким апроксимацијама.
Изводи гама функције описани су помоћу полигама функције, :
За позитиван цео број извод гама функције може се израчунати на следећи начин: upright=1.65|alt=Гама функција у комплексној равни са бојама које показују њен аргумент|thumb|Боје показују аргумент гама функције у комплексној равни од до
где H(m) је m-ти хармонијски број и је Ојлер–Маскерониева константа.
За -ти извод гама функције је:
(Ово се може извести диференцирањем интегралне форме гама функције у односу на , и коришћењем технике диференцирања под интегралним знаком.)
Користећи идентитет
где је Риманова зета функција, и је -ти Бел полином, имамо посебно Лоранов развој гама функције
Неједнакости Када је ограничена на позитивне реалне бројеве, гама функција је строго логаритамски конвексна функција. Ово својство може се изразити у било ком од следећа три еквивалентна начина: За било која два позитивна реална броја и , и за било који , За било која два позитивна реална броја и , и > За сваки позитиван реални број , Последња од ових тврдњи је, у суштини по дефиницији, иста као и тврдња да , где је полигама функција реда 1. Да би се доказала логаритамска конвексност гама функције, довољно је посматрати да има репрезентацију серија која се, за позитивне реалне , састоји само од позитивних чланова.
Логаритамска конвексност и Јенсенова неједнакост заједно имплицирају, за било којих позитивних реалних бројева и ,
Постоје такође границе за односе гама функција. Најпознатија је Гаучијева неједнакост, која каже да за било који позитиван реални број и било који ,
Стирлингова формула
thumb|upright=1.65|Приказ гама функције у комплексној равни. Свака тачка је обојена према аргументу Контурни приказ модула је такође приказан.
thumb|upright=1.65|Тродимензионални приказ апсолутне вредности комплексне гама функције Понашање за растућу позитивну реалну променљиву дато је Стирлинговом формулом
где симбол означава асимптотску конвергенцију: однос две стране конвергира ка 1 у граници Овај раст је бржи од експоненцијалног, , за било коју фиксну вредност .
Још једна корисна граница за асимптотске апроксимације за је:
Када се грешка напише као бесконачни производ, Стирлингова формула може да се користи да дефинише гама функцију:
Проширење на негативне, нецелобројне вредности Иако главна дефиниција гама функције—Ојлеров интеграл друге врсте—важи (на реалној оси) само за позитивне аргументе, њен домен може се проширити аналитичким наставком на негативне аргументе пребацујући негативан аргумент на позитивне вредности користећи Ојлерову рефлексиону формулу,
или основно својство,
када . На пример,
Резидуи Понашање за не-позитивно је сложеније. Ојлеров интеграл не конвергира за али функција коју дефинише у позитивној комплексној полуравни има јединствено аналитичко настављање на негативну полураван. Један начин да се нађе то аналитичко настављање је да се користи Ојлеров интеграл за позитивне аргументе и да се домен прошири на негативне бројеве поновним применом рекурентне формуле,
бирајући тако да је позитиван. Производ у имениоцу је нула када је једнак било ком од бројева . Дакле, гама функција мора бити недефинисана у тим тачкама да би се избегло дељење нулом; то је мероморфна функција са простим половима у ненегативним целим бројевима.
За функцију комплексне променљиве , у једноставном полу , резидуум од је дат са:
За једноставан пол , рекурентна формула се може преписати као:
Бројилац у , је
а именилац
Дакле, резидуи гама функције у тим тачкама су: Гама функција је различита од нуле свуда дуж реалне осе, иако се произвољно ближи нули како . Заправо, не постоји комплексан број за који , и отуда реципрочна гама функција је цела функција, са нулама у .
Минимуми и максимуми На реалној оси, гама функција има локални минимум у где достиже вредност . Гама функција расте са обе стране овог минимума. Решење за је и заједничка вредност је . Позитивно решење за је , златни пресек, а заједничка вредност је .