мини|десно|200px|Jedan od mogućih modova vibracije idealizovane kružne membrane bubnja. Ovi modovi su svojstvene funkcije linearnog operatora na funkcijskom prostoru, čestoj konstrukciji u funkcionalnoj analizi.
Funkcionalna analiza je grana matematičke analize, čije jezgro je formirano proučavanjem vektorskih prostora koji imaju neku vrstu granične strukture (npr. unutrašnji proizvod, normu, topologiju, itd.) i linearne funkcije definisane na tim prostorima i poštovanje tih struktura u odgovarajućem smislu. Istorijski koreni funkcionalne analize leže u proučavanju prostora funkcija, i u formulaciji svojstava transformacija funkcija, poput Furijeove transformacije, kao transformacije koja definiše kontinualne, unitarne i slične operatore između funkcijskih prostora. Ova tačka gledišta pokazala se posebno korisnom za proučavanje diferencijalnih i integralnih jednačina.
Upotreba reči funkcionalna potiče iz računa varijacija, implicirajući funkciju čiji je argument funkcija. Termin je prvi put korišten u Adamarovoj knjizi iz 1910. godine o toj temi. Međutim, generalni koncept funkcionalnog je ranije uveo, 1887. godine, italijanski matematičar i fizičar Vito Voltera. Teoriju nelinearnih funkcija nastavili su njegovi učenici, a posebno Freše i Levi. Adamar je osnovao i modernu školu linearne funkcionalne analize, koju su dalje razvili Ris i grupa poljskih matematičara oko Stefana Banaha.
U savremenim uvodnim tekstovima funkcionalne analize, subjekt se posmatra kao proučavanje vektorskih prostora koji imaju topologiju, posebno beskonačno-dimenzionalnih prostora. Nasuprot tome, linearna algebra se uglavnom bavi konačno-dimenzionalnim prostorima, i ne koristi topologiju. Važan deo funkcionalne analize je proširenje teorije mere, integracije i verovatnoće na beskonačno dimenzionalne prostore, takođe poznate kao beskonačno dimenzionalna analiza.
Normirani vektorski prostori
Osnovna i istorijski prva klasa prostora proučavana u funkcionalnoj analizi su potpuno normirani vektorski prostori nad realnim ili kompleksnim brojevima. Takvi prostori se zovu Banahovi prostori. Važan primer je Hilbertov prostor, gde norma nastaje iz unutrašnjeg proizvoda. Ovi prostori su od fundamentalnog značaja u mnogim oblastima, uključujući matematičku formulaciju kvantne mehanike.
Generalnije gledano, funkcionalna analiza obuhvata proučavanje Frešeovih prostora i drugih topoloških vektorskih prostora koji nemaju normu. Važan predmet istraživanja u funkcionalnoj analizi su kontinuirani linearni operatori definisani na Banahovim i Hilbertovim prostorima. Oni prirodno dovode do definicije C*-algebre, Google Books., Google Books.
i drugih operatorskih algebri. . Springer, 2001.
Vidi još Spisak tema o funkcionalnoj analizi Spektralna teorija
Reference
Literatura
Bachman, G., Narici, L.: Functional analysis, Academic Press, 1966. (reprint Dover Publications) Banach S. . Volume 38, North-Holland Mathematical Library. Brezis, H.: Analyse Fonctionnelle, Dunod. or. Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, , Springer-Verlag. Dunford, N. and Schwartz, J.T.: Linear Operators, General Theory, John Wiley & Sons, and other 3 volumes, includes visualization charts Edwards, R. E.: Functional Analysis, Theory and Applications, Hold, Rinehart and Winston, 1965. , American Mathematical Society, Friedman, A.: Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Paperback Edition, July 21, 2010 Giles,J.R.: Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces,Cambridge University Press,2000 Hirsch F., Lacombe G. - "Elements of Functional Analysis", Springer 1999. Hutson, V., Pym, J.S., Cloud M.J.: Applications of Functional Analysis and Operator Theory, , Elsevier Science. ,2003,2nd ed.2006. Kolmogorov, A.N and Fomin, S.V.: Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Dover Publications, 1999 Kreyszig, E.: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989. Lax, P.: . Wiley-Interscience. Lebedev, L.P. and Vorovich, I.I.: Functional Analysis in Mechanics, Springer-Verlag, 2002 Michel, Anthony N. and Charles J. Herget: Applied Algebra and Functional Analysis, Dover, 1993. . Birkhäuser Boston Inc. Reed, M., Simon, B.: "Functional Analysis", Academic Press 1980. Riesz, F. and Sz.-Nagy, B.: Functional Analysis, Dover Publications, 1990 Rudin, W.: Functional Analysis, McGraw-Hill Science, 1991 , Springer, , AMS, 2nd edition, 2001 , Dover, Sobolev, S.L.: Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963 Vogt, D., Meise, R.: Introduction to Functional Analysis, Oxford University Press, 1997. Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, 6th edition, 1980 . An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis. . This book is widely regarded as a source of new research material, providing much supporting intuition, but it is difficult. . This is a somewhat dated reference, but is still considered as a high-quality technical exposition. It is available in English from North Holland press.
. Mathematically rigorous reference which provides extensive physics background.
Spoljašnje veze
-{Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl, University of Vienna.}- -{ by Yevgeny Vilensky, New York University.}- -{Lecture videos on functional analysis by from University of Colorado Colorado Springs}- -{An Introduction to Functional Analysis on Coursera by John Cagnol from Ecole Centrale Paris}-
Категорија:Математичка анализа